Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Une non-linéarité géométrique apparaît lorsque les configurations initiale et déformée d’un solide ne peuvent pas être confondues. Dans ce cas, la réponse de la structure n’est plus proportionnelle au chargement appliqué. Ce phénomène est observé pour les structures minces, en particulier les coques minces, les câbles, et les structures souples et gonflables, ainsi que dans l’analyse d’instabilité et lors du formage des métaux et plastiques.La non-linéarité engendrée par les grands déplacements et les grandes déformations peut être considérée au moyen d’une description lagrangienne autour de la configuration initiale ou déformée. Cette description permet d’établir le système d’équilibre sous une forme incrémentale, dont la résolution est effectuée à l’aide de méthodes itératives.
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Alaa CHATEAUNEUF : Professeur des universités - Polytech Clermont-Ferrand, Institut Pascal, Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, France)
INTRODUCTION
Les grands déplacements du solide, accompagnés ou non de grandes déformations, rendent impossible le calcul des grandeurs mécaniques en se basant simplement sur la configuration initiale. Il est par conséquent nécessaire de prendre en compte le changement de géométrie tout au long de l’histoire du chargement. La difficulté principale réside dans l’impossibilité d’exprimer les tenseurs de déformation et de contrainte sur la configuration déformée, étant donné que cette dernière est inconnue. En effet, la configuration déformée est elle-même la solution recherchée du problème non-linéaire. Pour cette raison, nous devons considérer le mouvement du solide au cours du chargement, et non seulement à l’état final.
Le suivi du mouvement du solide peut être effectué à l’aide de la description lagrangienne, selon deux approches principales :
-
la description lagrangienne totale, où la configuration initiale est considérée comme référence pour les grandeurs mécaniques (i.e. déplacements, déformations et contraintes) ;
-
la description lagrangienne actualisée, où la configuration déformée est considérée comme référence.
Dans le cadre du calcul par éléments finis, la description lagrangienne, totale ou actualisée, permet d’exprimer l’équilibre incrémental de la structure, et par conséquent d’évaluer la matrice de rigidité tangente et les forces nodales pour chaque élément. La résolution du système d’équilibre à l’échelle de la structure est effectuée à l’aide de méthodes incrémentales et itératives, telles que la méthode de Newton-Raphson et celle de la longueur d’arc. Cette description incrémentale constitue un outil numérique indispensable pour l’analyse d’une large gamme de comportements non-linéaires, tels que les grands déplacements, les grandes déformations et l’instabilité des structures. L’implémentation de ces formulations non-linéaires dans les logiciels de calcul par éléments finis permet l’analyse de nombreuses applications dans les domaines de la mécanique des structures et du génie civil.
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Conclusion
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5. Techniques de résolution
Le comportement non-linéaire géométrique est un phénomène complexe et difficile à prendre en compte dans les résolutions numériques. En effet, la stabilité de la solution dépend fortement de l'élancement de la structure et des algorithmes utilisés.
Les descriptions lagrangiennes totale et actualisée sont aujourd'hui les outils principaux utilisés pour résoudre les problèmes non-linéaires en mécanique du solide. On notera toutefois que les logiciels commerciaux sont aujourd’hui suffisamment puissants pour traiter la majorité des cas industriels complexes, combinant différents types de non-linéarité.
Comme cela a été signalé précédemment, les phénomènes de non-linéarité rendent impossible la description d'une relation directe entre l'état final des contraintes et celui des déformations. C’est pourquoi, afin de pouvoir suivre la trajectoire du chargement, la charge totale {F} est décomposée en un certain nombre d'incréments {ΔF}, choisis suffisamment petits pour pouvoir assurer la convergence. Signalons toutefois que ces incréments ne garantissent pas le suivi du comportement réel, car il existe un cumul des erreurs au cours des incréments successifs. La matrice de rigidité tangente conduit à la linéarisation du comportement au début de chaque incrément. Il est donc indispensable d'introduire des procédures itératives permettant de rétablir l'équilibre des forces internes et externes à la fin de chaque incrément, sinon cette linéarisation par morceaux s'écarte progressivement de la courbe du comportement réel (dans ce cas, on observe une divergence monotone au cours des incréments).
5.1 Principe de la résolution
Le système structural non-linéaire à résoudre est donné sous sa forme incrémentale :
La procédure de résolution consiste à appliquer la force {F} par petits incréments {ΔF},...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - FUNG (Y.C.) - Foundation of solid mechanics. - Prentice Hall, Inc., N.J. (1965).
-
(2) - BATHE (K.-J.) - Finite Element Procedures. - Prentice Hall, Inc., N.J. (2006).
-
(3) - CRAVEUR (J.-C.), JETTEUR (Ph.) - Introduction à la mécanique non-linéaire, Calcul des structures par éléments finis. - Collection : Sciences Sup, Dunod (2010).
-
(4) - BATOZ (J.-L.), DHATT (G.) - Modélisation des structures par éléments finis – Tomes 1, 2 et 3. - Hermès (1992).
-
(5) - CHATEAUNEUF (A.) - Comprendre les éléments finis. - Collection : Technosup, Ellipses (2005).
-
(6) - MUZEAU (J.-P.) - Modèle de l’influence d’imperfections sur la sécurité des structures...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
-
ABAQUS, Dassault Systèmes,
-
ANSYS France
CAST3M – Commissariat à l’Énergie Atomique
COMSOL France, WTC,
ROBOT – Autodesk France,
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