Bibliographie & annexes
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En anglais
RÉSUMÉ
Une non-linéarité géométrique apparaît lorsque les configurations initiale et déformée d’un solide ne peuvent pas être confondues. Dans ce cas, la réponse de la structure n’est plus proportionnelle au chargement appliqué. Ce phénomène est observé pour les structures minces, en particulier les coques minces, les câbles, et les structures souples et gonflables, ainsi que dans l’analyse d’instabilité et lors du formage des métaux et plastiques.La non-linéarité engendrée par les grands déplacements et les grandes déformations peut être considérée au moyen d’une description lagrangienne autour de la configuration initiale ou déformée. Cette description permet d’établir le système d’équilibre sous une forme incrémentale, dont la résolution est effectuée à l’aide de méthodes itératives.
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A geometrical nonlinearity occurs when the initial and deformed configurations of a solid become significantly different. In this case, the structural response is no longer proportional to the applied loading. This phenomenon is observed for slender structures, such as thin shells, wires, and flexible structures, and also in stability analysis and during metal and plastic forming. The nonlinearity induced by large displacements and large strains can be considered by means of a Lagrangian description for either the initial or the deformed configurations. This description allows the equilibrium system to be established in incremental form: it is resolved using iterative methods.
Auteur(s)
-
Alaa CHATEAUNEUF : Professeur des universités - Polytech Clermont-Ferrand, Institut Pascal, Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, France)
INTRODUCTION
Les grands déplacements du solide, accompagnés ou non de grandes déformations, rendent impossible le calcul des grandeurs mécaniques en se basant simplement sur la configuration initiale. Il est par conséquent nécessaire de prendre en compte le changement de géométrie tout au long de l’histoire du chargement. La difficulté principale réside dans l’impossibilité d’exprimer les tenseurs de déformation et de contrainte sur la configuration déformée, étant donné que cette dernière est inconnue. En effet, la configuration déformée est elle-même la solution recherchée du problème non-linéaire. Pour cette raison, nous devons considérer le mouvement du solide au cours du chargement, et non seulement à l’état final.
Le suivi du mouvement du solide peut être effectué à l’aide de la description lagrangienne, selon deux approches principales :
-
la description lagrangienne totale, où la configuration initiale est considérée comme référence pour les grandeurs mécaniques (i.e. déplacements, déformations et contraintes) ;
-
la description lagrangienne actualisée, où la configuration déformée est considérée comme référence.
Dans le cadre du calcul par éléments finis, la description lagrangienne, totale ou actualisée, permet d’exprimer l’équilibre incrémental de la structure, et par conséquent d’évaluer la matrice de rigidité tangente et les forces nodales pour chaque élément. La résolution du système d’équilibre à l’échelle de la structure est effectuée à l’aide de méthodes incrémentales et itératives, telles que la méthode de Newton-Raphson et celle de la longueur d’arc. Cette description incrémentale constitue un outil numérique indispensable pour l’analyse d’une large gamme de comportements non-linéaires, tels que les grands déplacements, les grandes déformations et l’instabilité des structures. L’implémentation de ces formulations non-linéaires dans les logiciels de calcul par éléments finis permet l’analyse de nombreuses applications dans les domaines de la mécanique des structures et du génie civil.
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KEYWORDS
Civil engineering | finite elements | structural mechanics | structural analysis
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Techniques de résolution
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4. Discrétisation par éléments finis
La formulation en déplacement des éléments finis consiste à discrétiser le champ de déplacement t u i en fonction des déplacements nodaux t q k. Cette discrétisation permet de formuler les matrices des éléments permettant d’écrire le système algébrique de l’équilibre incrémental au niveau de la structure.
4.1 Variation virtuelle de la déformation
Dans la description lagrangienne totale, les matrices des éléments sont calculées par la variation virtuelle de la déformation qui est exprimée en fonction de celle des déplacements nodaux sous la forme :
( 43 )
avec :
- δtqk :
- variation virtuelle des déplacements nodaux tqk pour la configuration à l’instant t.
Le développement en série de Taylor au premier ordre de la variation virtuelle de l’énergie de déformation par unité de volume à l’instant t + Δt donne :
( 44 )
Il vient alors :
( 45 )
Le tenseur de Green-Lagrange permet ainsi d’écrire les dérivées de la manière suivante :
( 46 )
...
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Discrétisation par éléments finis
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - FUNG (Y.C.) - Foundation of solid mechanics. - Prentice Hall, Inc., N.J. (1965).
-
(2) - BATHE (K.-J.) - Finite Element Procedures. - Prentice Hall, Inc., N.J. (2006).
-
(3) - CRAVEUR (J.-C.), JETTEUR (Ph.) - Introduction à la mécanique non-linéaire, Calcul des structures par éléments finis. - Collection : Sciences Sup, Dunod (2010).
-
(4) - BATOZ (J.-L.), DHATT (G.) - Modélisation des structures par éléments finis – Tomes 1, 2 et 3. - Hermès (1992).
-
(5) - CHATEAUNEUF (A.) - Comprendre les éléments finis. - Collection : Technosup, Ellipses (2005).
-
(6) - MUZEAU (J.-P.) - Modèle de l’influence d’imperfections sur la sécurité des structures...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
-
ABAQUS, Dassault Systèmes,
-
ANSYS France
CAST3M – Commissariat à l’Énergie Atomique
COMSOL France, WTC,
ROBOT – Autodesk France,
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