Bibliographie & annexes
Quiz & test
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants et détaille les différents types de représentations qui leur sont rattachés : la représentation fréquentielle classique, puis la représentation d’état. Grâce au fort développement des moyens de calcul, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Le cas plus général des systèmes linéaires incertains est ensuite abordé et une représentation associée, dite LFT, généralisant les représentations précédentes est présentée. Cet article s’achève par des aspects logiciels illustrant les différentes représentations et propose des moyens simples de les manipuler.
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This article discusses the notion of invariant linear systems and details their different types of representation from standard frequency-domain transfer functions to state-space representations. Thanks to the strong development of computational capacities, state-space representations are now widely used, not only for simulation purpose but also for control design. The more general case of uncertain linear systems is then discussed and an associated LFT (Linear Fractional transformation) representation, generalizing the previous ones is presented. This article concludes with software aspects illustrating the different representations and proposes simple ways to manipulate them.
Auteur(s)
-
Jean-Marc BIANNIC : Directeur de recherche à l’ONERA – Professeur à ISAE / SUPAÉRO - ONERA-DTIS, Toulouse, France
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une mise à jour de l’article [S 7 130] paru en 2006 intitulé « Représentations d’un système linéaire » rédigé par André FOSSARD et Jean-Marc BIANNIC à partir de la version initiale du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé « Représentation d’un système ». Tous les éléments de la version de 2006 sont conservés dans cet article qui comporte en outre une nouvelle section majeure dédiée aux systèmes linéaires incertains. L’introduction d’incertitudes dans la modélisation des systèmes linéaires est essentielle dans la mesure où très souvent, de nombreux paramètres sont mal connus. Plutôt que de manipuler un grand nombre de systèmes associés à différentes valeurs possibles de ces paramètres, l’objectif est de proposer une formulation plus générale sous la forme d’un système unique dans laquelle toutes les incertitudes sont regroupées au sein d’un opérateur incertain dont la structure est diagonale par blocs. Ce type de formulation, dit LFT (« Linear Fractional Transformation ») est particulièrement bien adapté aux techniques de synthèse de lois de commande robustes aux incertitudes et aux techniques d’analyse de la robustesse, tout en facilitant également la simulation. La section suivante, dédiée aux aspects logiciels sous MATLAB, est étoffée pour illustrer comment modéliser très simplement un système linéaire incertain grâce à la définition d’un « objet » dédié. Enfin, la bibliographie est mise à jour avec plusieurs références spécifiques à cette modélisation LFT.
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KEYWORDS
Linear systems | Transfer functions | State-space representation | LFT
VERSIONS
- Version archivée 1 de déc. 2006 par André FOSSARD, Jean-Marc BIANNIC
DOI (Digital Object Identifier)
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Présentation
Pluralité des représentations d’état
En anglais
1. Différents types de représentations
1.1 Représentations classiques
D’une façon générale, lorsque l’on est amené à étudier un processus physique, on peut le caractériser par des relations entrées-sorties de deux types bien connus :
-
l’équation différentielle :
![]()
qui lie l’entrée u et ses dérivées temporelles à la sortie y et ses dérivées ;
-
la fonction de transfert, lorsque le système est linéaire, liant la transformée de Laplace U(p) de l’entrée à la transformée de Laplace Y(p) de la sortie :
![]()
p étant la variable de Laplace.
Si ces représentations sont bien connues au niveau des systèmes monoentrée-monosortie (u et y scalaires), elles peuvent bien évidemment s’étendre aux cas des systèmes multientrées-multisorties, U et Y étant alors des vecteurs [R 7 220]. L’équation différentielle est alors remplacée par un système d’équations différentielles couplées comportant autant d’équations qu’il y a de composantes dans le vecteur de sortie pour définir complètement le processus ; la fonction de transfert F(p) est remplacée par une matrice de transfert Z(p) dont chaque élément est une fonction de transfert liant une composante du vecteur d’entrée à une composante du vecteur de sortie.
Ces relations ne permettent toutefois pas, connaissant les commandes U appliquées sur un intervalle [t 0, t], de déterminer le comportement...
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Différents types de représentations
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GILLE (J.-CH.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état –. - Eyrolles, 2e éd (1990).
-
(2) - GILLE (J.-CH.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs – - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A. J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie. - ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7 (1995).
-
(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System – - Prentice Hall, 10th edition (2004).
-
(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus – Cours avec applications utilisant MATLAB – - Ellipses (2001).
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Connaissance d’un système.
ANNEXES
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QUIZ ET TEST DE VALIDATION PRÉSENTS DANS CET ARTICLE
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2/ Test de validation
Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.
Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
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