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RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants et détaille les différents types de représentations qui leur sont rattachés : la représentation fréquentielle classique, puis la représentation d’état. Grâce au fort développement des moyens de calcul, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Le cas plus général des systèmes linéaires incertains est ensuite abordé et une représentation associée, dite LFT, généralisant les représentations précédentes est présentée. Cet article s’achève par des aspects logiciels illustrant les différentes représentations et propose des moyens simples de les manipuler.
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Jean-Marc BIANNIC : Directeur de recherche à l’ONERA – Professeur à ISAE / SUPAÉRO - ONERA-DTIS, Toulouse, France
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une mise à jour de l’article [S 7 130] paru en 2006 intitulé « Représentations d’un système linéaire » rédigé par André FOSSARD et Jean-Marc BIANNIC à partir de la version initiale du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé « Représentation d’un système ». Tous les éléments de la version de 2006 sont conservés dans cet article qui comporte en outre une nouvelle section majeure dédiée aux systèmes linéaires incertains. L’introduction d’incertitudes dans la modélisation des systèmes linéaires est essentielle dans la mesure où très souvent, de nombreux paramètres sont mal connus. Plutôt que de manipuler un grand nombre de systèmes associés à différentes valeurs possibles de ces paramètres, l’objectif est de proposer une formulation plus générale sous la forme d’un système unique dans laquelle toutes les incertitudes sont regroupées au sein d’un opérateur incertain dont la structure est diagonale par blocs. Ce type de formulation, dit LFT (« Linear Fractional Transformation ») est particulièrement bien adapté aux techniques de synthèse de lois de commande robustes aux incertitudes et aux techniques d’analyse de la robustesse, tout en facilitant également la simulation. La section suivante, dédiée aux aspects logiciels sous MATLAB, est étoffée pour illustrer comment modéliser très simplement un système linéaire incertain grâce à la définition d’un « objet » dédié. Enfin, la bibliographie est mise à jour avec plusieurs références spécifiques à cette modélisation LFT.
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VERSIONS
- Version archivée 1 de déc. 2006 par André FOSSARD, Jean-Marc BIANNIC
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Représentation d’état d’un système constitué de sous-systèmes
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4. Passage d’une représentation entrée-sortie à une représentation d’état – Formes canoniques
On a déjà vu dans la section 2 que, dans des cas très simples, la physique du système imposait naturellement un certain choix des variables d’état (cas des circuits électriques, par exemple). Le plus souvent toutefois, on ne connaît au départ que la relation entrée-sortie du modèle du système (ou d’une partie du système, cf. section 5), fonction de transfert ou équation différentielle. Comment obtenir dans ces cas UNE représentation d’état ? On dit bien une représentation puisqu’on a vu qu’une telle représentation n’était définie qu’à une transformation linéaire près. Le problème est donc de déduire une représentation le plus simplement possible tout en mettant en évidence une caractéristique essentielle de tout système dynamique, c’est-à-dire ses modes, soit séparément, soit globalement. Les modes sont liés aux pôles de la fonction de transfert et globalement au dénominateur de la fonction de transfert, c’est-à-dire d’après l’équation (5), aux valeurs propres de la matrice A ou à son polynôme caractéristique det
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Passage d’une représentation entrée-sortie à une représentation d’état – Formes canoniques
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GILLE (J.-CH.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état –. - Eyrolles, 2e éd (1990).
-
(2) - GILLE (J.-CH.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs – - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A. J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie. - ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7 (1995).
-
(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System – - Prentice Hall, 10th edition (2004).
-
(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus – Cours avec applications utilisant MATLAB – - Ellipses (2001).
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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Connaissance d’un système.
ANNEXES
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2/ Test de validation
Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.
Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
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