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RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants et détaille les différents types de représentations qui leur sont rattachés : la représentation fréquentielle classique, puis la représentation d’état. Grâce au fort développement des moyens de calcul, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Le cas plus général des systèmes linéaires incertains est ensuite abordé et une représentation associée, dite LFT, généralisant les représentations précédentes est présentée. Cet article s’achève par des aspects logiciels illustrant les différentes représentations et propose des moyens simples de les manipuler.
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Jean-Marc BIANNIC : Directeur de recherche à l’ONERA – Professeur à ISAE / SUPAÉRO - ONERA-DTIS, Toulouse, France
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une mise à jour de l’article [S 7 130] paru en 2006 intitulé « Représentations d’un système linéaire » rédigé par André FOSSARD et Jean-Marc BIANNIC à partir de la version initiale du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé « Représentation d’un système ». Tous les éléments de la version de 2006 sont conservés dans cet article qui comporte en outre une nouvelle section majeure dédiée aux systèmes linéaires incertains. L’introduction d’incertitudes dans la modélisation des systèmes linéaires est essentielle dans la mesure où très souvent, de nombreux paramètres sont mal connus. Plutôt que de manipuler un grand nombre de systèmes associés à différentes valeurs possibles de ces paramètres, l’objectif est de proposer une formulation plus générale sous la forme d’un système unique dans laquelle toutes les incertitudes sont regroupées au sein d’un opérateur incertain dont la structure est diagonale par blocs. Ce type de formulation, dit LFT (« Linear Fractional Transformation ») est particulièrement bien adapté aux techniques de synthèse de lois de commande robustes aux incertitudes et aux techniques d’analyse de la robustesse, tout en facilitant également la simulation. La section suivante, dédiée aux aspects logiciels sous MATLAB, est étoffée pour illustrer comment modéliser très simplement un système linéaire incertain grâce à la définition d’un « objet » dédié. Enfin, la bibliographie est mise à jour avec plusieurs références spécifiques à cette modélisation LFT.
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VERSIONS
- Version archivée 1 de déc. 2006 par André FOSSARD, Jean-Marc BIANNIC
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Conclusion et perspectives
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8. Aspects logiciels
La représentation d’état, tout comme sa généralisation LFT, simples dans leur formalisme, génèrent cependant des calculs très lourds et des manipulations délicates, souvent impraticables à la main dans les cas réalistes.
8.1 Notion d’objet et de classe
Il est donc devenu nécessaire de se doter d’outils logiciels permettant de :
-
créer facilement des systèmes LTI, éventuellement incertains, dans l’un ou l’autre des formats que nous avons abordés dans cet article ;
-
manipuler ces systèmes le plus simplement possible en effectuant sur ces derniers des opérations que l’on peut effectuer traditionnellement dans le corps des complexes (additions, multiplications, inversions, interconnexions linéaires) ;
-
réaliser des opérations plus complexes de conversion de format ou de réduction.
Aujourd’hui, le logiciel le plus couramment utilisé et répondant à ce besoin est MATLAB et son interface graphique SIMULINK pour la construction de schémas interconnectés et la simulation.
À titre d’exemple, la solution proposée dans la librairie Control Toolbox (dédiée à la commande des systèmes) du logiciel MATLAB dont le noyau est écrit en langage orienté objet (C++) a consisté à définir différentes classes de systèmes linéaires et de constructeur associés :
-
ss : pour la création des systèmes LTI en utilisant une représentation d’état ;
-
tf : pour la création des systèmes LTI à partir d’une fonction de transfert ;
-
zpk : pour la création de systèmes LTI par définition des pôles et zéros ;
-
genss : pour la création de systèmes sous forme de représentations d’état à paramètres réglables.
Puis à surcharger les opérateurs classiques +, –, *, / habituellement réservés à la classe des nombres (ou matrices) complexes afin de manipuler facilement les objets ainsi créés. Des routines avancées telles que feedback, parallel, series, connect sont également surchargées pour construire aisément des interconnexions telles que celles présentées sur la figure ...
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Aspects logiciels
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GILLE (J.-CH.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état –. - Eyrolles, 2e éd (1990).
-
(2) - GILLE (J.-CH.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs – - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A. J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie. - ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7 (1995).
-
(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System – - Prentice Hall, 10th edition (2004).
-
(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus – Cours avec applications utilisant MATLAB – - Ellipses (2001).
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...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Connaissance d’un système.
ANNEXES
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1/ Quiz d'entraînement
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2/ Test de validation
Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.
Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
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