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RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants et détaille les différents types de représentations qui leur sont rattachés : la représentation fréquentielle classique, puis la représentation d’état. Grâce au fort développement des moyens de calcul, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Le cas plus général des systèmes linéaires incertains est ensuite abordé et une représentation associée, dite LFT, généralisant les représentations précédentes est présentée. Cet article s’achève par des aspects logiciels illustrant les différentes représentations et propose des moyens simples de les manipuler.
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Jean-Marc BIANNIC : Directeur de recherche à l’ONERA – Professeur à ISAE / SUPAÉRO - ONERA-DTIS, Toulouse, France
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une mise à jour de l’article [S 7 130] paru en 2006 intitulé « Représentations d’un système linéaire » rédigé par André FOSSARD et Jean-Marc BIANNIC à partir de la version initiale du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé « Représentation d’un système ». Tous les éléments de la version de 2006 sont conservés dans cet article qui comporte en outre une nouvelle section majeure dédiée aux systèmes linéaires incertains. L’introduction d’incertitudes dans la modélisation des systèmes linéaires est essentielle dans la mesure où très souvent, de nombreux paramètres sont mal connus. Plutôt que de manipuler un grand nombre de systèmes associés à différentes valeurs possibles de ces paramètres, l’objectif est de proposer une formulation plus générale sous la forme d’un système unique dans laquelle toutes les incertitudes sont regroupées au sein d’un opérateur incertain dont la structure est diagonale par blocs. Ce type de formulation, dit LFT (« Linear Fractional Transformation ») est particulièrement bien adapté aux techniques de synthèse de lois de commande robustes aux incertitudes et aux techniques d’analyse de la robustesse, tout en facilitant également la simulation. La section suivante, dédiée aux aspects logiciels sous MATLAB, est étoffée pour illustrer comment modéliser très simplement un système linéaire incertain grâce à la définition d’un « objet » dédié. Enfin, la bibliographie est mise à jour avec plusieurs références spécifiques à cette modélisation LFT.
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VERSIONS
- Version archivée 1 de déc. 2006 par André FOSSARD, Jean-Marc BIANNIC
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Changements de base
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5. Représentation d’état d’un système constitué de sous-systèmes
Jusqu’à présent nous ne nous sommes intéressés qu’à la mise sous forme d’état d’une « boîte noire », c’est-à-dire en pratique d’un élément d’un système connu par sa seule relation entrée-sortie et sur lequel on n’a aucune information de structure (c’est pour cela qu’on avait le choix entre diverses représentations d’état possibles, évidemment toutes de même ordre).
Dans la pratique, un système est constitué d’un certain nombre de sous-systèmes, interconnectés entre eux d’une façon plus ou moins complexe mais connue. On a donc deux niveaux de connaissance : au niveau du sous-système, pas d’information de structure, au niveau du système, une information de structure.
Dans un tel cas, si on cherche la fonction de transfert globale (ou l’équation différentielle entrée-sortie), on se heurte à trois difficultés, de natures différentes :
-
d’abord les calculs peuvent être fastidieux, en particulier si on a des boucles enchevêtrées ;
-
d’autre part, on perd la partie d’information structurelle qui était connue ;
-
enfin on risque de perdre la trace de modes ingouvernables et/ou inobservables (on se reportera à l’article [R 7 135] pour ce dernier point).
L’utilisation des modèles d’état permet de contourner toutes ces difficultés : calculs faciles, conservation de l’information de structure, conservation des modes éventuellement ingouvernables et/ou inobservables.
Pour cela il suffira, dans le cas où tous les sous-systèmes sont strictement propres :
-
d’écrire les équations d’état de chaque sous-système :
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-
de prendre comme vecteur d’état global la réunion des vecteurs d’état de chaque sous-système :
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Représentation d’état d’un système constitué de sous-systèmes
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GILLE (J.-CH.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état –. - Eyrolles, 2e éd (1990).
-
(2) - GILLE (J.-CH.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs – - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A. J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie. - ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7 (1995).
-
(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System – - Prentice Hall, 10th edition (2004).
-
(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus – Cours avec applications utilisant MATLAB – - Ellipses (2001).
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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Connaissance d’un système.
ANNEXES
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Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
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