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Auteur(s)
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Claude LEMARÉCHAL : Ingénieur de l’École nationale supérieure d’Électronique, d’Électrotechnique, d’Informatique et d’Hydraulique de Toulouse (ENSEEIHT) Docteur ès sciences Directeur de recherche à l’Institut national de recherche en Informatique et en Automatique (INRIA)
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En tant que branche des mathématiques appliquées, l’optimisation est maintenant omniprésente. C’est à la fin de la dernière guerre mondiale qu’elle est devenue vraiment opérationnelle, avec l’apparition de la programmation linéaire pour organiser les convois américains vers l’Europe (les « liberty ships »). Elle s’est ensuite fortement développée à partir des années 1960, pendant lesquelles les problèmes non linéaires ont pu être abordés efficacement, grâce principalement aux méthodes de « quasi-Newton ».
Les problèmes traités dans cet article appartiennent au domaine de l’ optimisation continue , dans laquelle les variables à optimiser peuvent prendre tout un continuum de valeurs. Ceci s’oppose aux problèmes combinatoires , dans lesquels il s’agit de trouver la meilleure parmi un ensemble fini de possibilités. Nous ne parlons pas dans cet article de ces derniers.
Les méthodes d’optimisation continue relèvent toutes de l’analyse des fonctions de plusieurs variables réelles, et consistent toutes à construire une suite itérative de solutions approchées. C’est ce type de méthodes qui fait l’objet du présent article.
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Étude mathématique
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1. Exemples de problèmes d’optimisation
1.1 Calcul d’un équilibre chimique
On considère le système formé par le mélange d’un certain nombre d’éléments chimiques (par exemple trois éléments : le soufre, l’oxygène et le fluor). Dans des conditions données de pression P et de température thermodynamique T, un équilibre s’établit entre ces éléments et tous les composés qu’ils sont susceptibles de former (ici il y a 35 corps chimiques possibles : SO2, SF2, etc.). On désire calculer les concentrations des divers constituants à l’équilibre. Pour cela, on exprime qu’à l’équilibre l’énergie du système est minimale.
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Modèle mathématique
Ce problème illustre les éléments essentiels présents dans une optimisation.
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Appelons xi le nombre de moles du composé i. Les xi , i = 1, …, n (ici n = 35) sont inconnus, et le problème, justement, est d’en calculer les bonnes valeurs. Néanmoins, si on leur attribue des valeurs arbitraires, on peut alors calculer l’énergie du système. C’est pourquoi ces inconnues sont appelées variables de commande : elles gouvernent l’état du système cherché.
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A priori, les x i sont des nombres réels : l’espace des commandes est R n , l’espace vectoriel des vecteurs à n coordonnées.
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La fonction coût à minimiser est ici l’enthalpie libre de Gibbs, qui peut être calculée dès que des valeurs (arbitraires) sont attribuées aux variables de commande. Elle a pour expression :
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Exemples de problèmes d’optimisation
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - WARUSFEL (A.) - Analyse fonctionnelle. - A 101, traité Sciences fondamentales (1994).
-
(2) - LINO (D.) et RANDÉ (B.S.) - Calcul différentiel. - AF 55, traité Sciences fondamentales (1997).
-
(3) - LINO (D.) et DEBEAUMARCHÉ (G.) - Calcul matriciel. - AF 86, traité Sciences fondamentales (1998).
-
(4) - BONNANS (J.F.), GILBERT (J.Ch.), LEMARECHAL (C.), SAGASTIZABAL (C.) - Optimisation numérique. - 324 p. Springer Verlag Paris (1997) (assez complet, passe en revue l’ensemble des problèmes et méthodes évoqués ici).
-
(5) - MINOUX (M.) - Programmation mathématique. - Tome 2, 231 p. bibl. Dunod (1983) (consacré aux problèmes dynamiques et aux problèmes combinatoires).
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(6) - CULIOLI (J. Ch.) - Introduction à l’optimisation - 316 p....
ANNEXES
Mathematical Programming
HAUT DE PAGE
Computational Optimization and Applications
Journal of Optimization, Theory and Applications
IEEE Transactions on Automatic Control
SIAM Journal on Optimization (Society for Industrial and Applied Mathematics)
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