Bibliographie & annexes
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Auteur(s)
-
Claude LEMARÉCHAL : Ingénieur de l’École nationale supérieure d’Électronique, d’Électrotechnique, d’Informatique et d’Hydraulique de Toulouse (ENSEEIHT) Docteur ès sciences Directeur de recherche à l’Institut national de recherche en Informatique et en Automatique (INRIA)
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En tant que branche des mathématiques appliquées, l’optimisation est maintenant omniprésente. C’est à la fin de la dernière guerre mondiale qu’elle est devenue vraiment opérationnelle, avec l’apparition de la programmation linéaire pour organiser les convois américains vers l’Europe (les « liberty ships »). Elle s’est ensuite fortement développée à partir des années 1960, pendant lesquelles les problèmes non linéaires ont pu être abordés efficacement, grâce principalement aux méthodes de « quasi-Newton ».
Les problèmes traités dans cet article appartiennent au domaine de l’ optimisation continue , dans laquelle les variables à optimiser peuvent prendre tout un continuum de valeurs. Ceci s’oppose aux problèmes combinatoires , dans lesquels il s’agit de trouver la meilleure parmi un ensemble fini de possibilités. Nous ne parlons pas dans cet article de ces derniers.
Les méthodes d’optimisation continue relèvent toutes de l’analyse des fonctions de plusieurs variables réelles, et consistent toutes à construire une suite itérative de solutions approchées. C’est ce type de méthodes qui fait l’objet du présent article.
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Méthodes numériques d’optimisation
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2. Étude mathématique
2.1 Quelques rappels mathématiques
Nous exposons de façon simplifiée diverses notions dont la plupart sont détaillées dans les articles sur l’analyse fonctionnelle [1] (définitions et propriétés des espaces de Hilbert) et le calcul différentiel [2]. On se reportera aussi à l’article sur le calcul matriciel [3].
Les notions présentées ici ne sont, pour la plupart, que des généralisations de notions connues, elles nous serviront surtout au paragraphe 4.
Un espace de Hilbert réel H est un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire (nous négligeons l’axiome de complétude, qui n’a d’importance que pour les mathématiciens). Ceci signifie que si x et y sont deux éléments (vecteurs) de H, on sait calculer la somme x + y, la multiplication tx de x par un nombre réel t (un scalaire) et un nombre réel que nous noterons
, produit scalaire de x et y. On note
le carré de la norme de x.
L’espace le plus connu est R n , ensemble des vecteurs à n coordonnées, avec
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Étude mathématique
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - WARUSFEL (A.) - Analyse fonctionnelle. - A 101, traité Sciences fondamentales (1994).
-
(2) - LINO (D.) et RANDÉ (B.S.) - Calcul différentiel. - AF 55, traité Sciences fondamentales (1997).
-
(3) - LINO (D.) et DEBEAUMARCHÉ (G.) - Calcul matriciel. - AF 86, traité Sciences fondamentales (1998).
-
(4) - BONNANS (J.F.), GILBERT (J.Ch.), LEMARECHAL (C.), SAGASTIZABAL (C.) - Optimisation numérique. - 324 p. Springer Verlag Paris (1997) (assez complet, passe en revue l’ensemble des problèmes et méthodes évoqués ici).
-
(5) - MINOUX (M.) - Programmation mathématique. - Tome 2, 231 p. bibl. Dunod (1983) (consacré aux problèmes dynamiques et aux problèmes combinatoires).
-
(6) - CULIOLI (J. Ch.) - Introduction à l’optimisation - 316 p....
ANNEXES
Mathematical Programming
HAUT DE PAGE
Computational Optimization and Applications
Journal of Optimization, Theory and Applications
IEEE Transactions on Automatic Control
SIAM Journal on Optimization (Society for Industrial and Applied Mathematics)
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