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RÉSUMÉ
Dans cet article, on présente le réglage rapide d’un correcteur PID pour un système apériodique à partir de sa réponse indicielle. On assure la stabilité et la rapidité du système bouclé. Le correcteur PID est simplifié pour ne conserver que deux paramètres : un gain et une constante de temps. Le système à commander est modélisé par une fonction de transfert à 3 ou 4 qui sont peu corrélés et aisés à estimer. On obtient alors un réglage qui permet d’imposer un dépassement indiciel limité et la bande passante la plus grande possible. La méthode s’étend aussi aux systèmes intégrateurs ou à la détermination d’un correcteur ayant deux intégrations afin d'annuler l’erreur de trainage.
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Dominique JACOB : Professeur agrégé de Génie électrique Ancien élève de l’ENS de Cachan Institut universitaire de Technologie POITIERS. Département de Génie électrique
INTRODUCTION
La commande PID est la plus simple et la plus répandue des commandes en boucle fermée. Elle est convenable pour les systèmes apériodiques. Le bon réglage reste délicat et nécessite de modéliser et d’identifier le système en boucle ouverte. Pour cela, des modèles simplifiés ont été proposés par exemple par Broïda ou Strejc qui possèdent peu de paramètres que l’on peut obtenir à partir de la réponse indicielle.
On présente ici deux autres modèles applicables aux systèmes apériodiques dont les paramètres sont obtenus à partir d’une réponse indicielle et qui conduisent rapidement au réglage d’un correcteur PID. Les deux modèles proposés
et
peuvent représenter une large gamme de processus. Ils n’ont que trois ou quatre paramètres peu corrélés. Un essai indiciel en boucle ouverte permet de les estimer simplement et chaque paramètre ayant un sens physique, il est aisé d’écarter des identifications aberrantes. De ces paramètres, on déduit le réglage du correcteur PID adapté au système.
Le correcteur PID est simplifié sous la forme
n’ayant que deux paramètres (A et T car r ≈ 12 varie peu). Le but cherché n’est pas d’obtenir une commande optimale, mais seulement un réglage rapide et satisfaisant du correcteur. Le réglage permet d’imposer la stabilité en boucle fermée avec un dépassement indiciel limité et la bande passante la plus grande possible.
La méthode s’applique aussi aux systèmes qui possèdent une intégration en boucle ouverte ou aux réglages d’un correcteur qui possèdent deux intégrations afin d’annuler l’erreur de poursuite.
Dans la suite, pour des signaux évoluant en fonction du temps, l’axe du temps est gradué en secondes.
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Performances obtenues en boucle fermée
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2. Modèles de systèmes linéaires en boucle ouverte
2.1 Critères de choix du modèle
La commande par un PID simplifié ne demande que le réglage de deux paramètres ; cela ne nécessite pas une modélisation très rigoureuse du système, mais il faut pouvoir obtenir l’estimation rapide et fiable de la pulsation critique ω c.
On souhaite aussi caractériser le système avec le minimum d’essais expérimentaux et quelques mesures simples : l’essai indiciel est le plus adapté. Le but de l’identification du modèle est d’obtenir le réglage du correcteur PID.
Le nombre de paramètres à identifier doit être le plus faible possible pour que l’identification ne soit pas trop dépendante du bruit inévitable sur les signaux. La recherche de petites constantes de temps proches ou situées au-delà de la bande passante du système est illusoire à partir d’un simple essai indiciel. Le modèle ne doit pas prendre en compte de tels paramètres. On se limitera donc à la présence de deux constantes de temps : l’une permet de fixer le temps de réponse et la seconde, plus petite, permet de caractériser la réponse au début du régime transitoire.
L’existence d’un zéro dans le système modifie la réponse indicielle de façon importante et doit donc être prise en compte. Ici, on se limite à la prise en compte éventuelle d’un seul zéro.
Pour posséder une pulsation critique, la fonction de transfert du système doit avoir un degré (différence entre le degré du dénominateur et le degré du numérateur) supérieur ou égal à 3.
Si le système n’a pas de zéro, le dénominateur doit être de degré 3 et si le système possède un zéro, le dénominateur doit être de degré 4.
Les deux modèles satisfaisant ces conditions sont les suivants :
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