Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
Auteur(s)
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Didier PINCHON : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint‐Cloud - Docteur ès‐sciences - Chercheur au Laboratoire « Mathématiques pour l’industrie et la physique »,Université Paul Sabatier , Toulouse
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Lire l’articleINTRODUCTION
L e calcul scientifique sur ordinateur se présente principalement sous deux aspects différents et complémentaires.
D’une part, le calcul numérique traditionnel où est exploitée la capacité des ordinateurs à effectuer rapidement un grand nombre d’opérations arithmétiques sur les nombres réels. Les résultats de ce type de calcul sont approchés et ils dépendent du choix de la représentation des nombres réels et de la façon dont sont effectuées les opérations arithmétiques. L’accumulation des erreurs d’arrondis, les problèmes de mauvais conditionnement sont pour les calculs numériques des obstacles fréquents à l’obtention de résultats reproductibles et fiables.
D’autre part, le calcul symbolique ou calcul formel consiste à faire effectuer par l’ordinateur des calculs mathématiques exacts : développements, transformations, simplifications de formules. Un aspect typique du calcul formel est que les symboles dans les formules ne sont pas nécessairement remplacés par des valeurs numériques particulières mais conservés lors du déroulement des calculs. Tous les calculs présentant un caractère d’automatisme, c’est‐à‐dire dont les étapes obéissent à un ensemble bien précis et cohérent de règles, peuvent être effectués par ordinateur. Des formules courantes de l’art de l’ingénieur, le calcul différentiel et intégral, par exemple, sont ainsi traitées par des programmes informatiques avec une fiabilité bien supérieure à celle d’un calcul manuel et avec des limites pour la taille des calculs incomparablement plus grandes.
Le calcul formel est un domaine de recherche en pleine expansion. Dans tous les secteurs où les mathématiciens obtiennent des résultats constructifs, de nouveaux algorithmes spécifiques sont mis au point, transformés en programmes et expérimentés.
Un système de calcul formel est un logiciel regroupant des programmes de calcul symbolique relatifs à un domaine spécialisé ou bien au contraire des programmes assez généraux pour effectuer tous les calculs mathématiques usuels de l’ingénieur mathématicien. Un système de calcul formel se présente à l’utilisateur sous la forme d’un ensemble de commandes et d’un langage plus ou moins élaboré lui permettant d’organiser ses calculs et même quelquefois d’étendre le système lui‐même. Les systèmes de calcul formel les plus répandus contiennent également des programmes numériques et des utilitaires graphiques pour faciliter l’interprétation et l’exploitation des résultats.
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Exemples de calculs
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1. Notion de système de calcul formel
1.1 Raisons du développement du calcul formel
Dans la mesure où de nombreux calculs peuvent être menés en utilisant des procédés ayant un caractère d’automatisme, il est logique d’envisager de les faire effectuer par un ordinateur. C’est ainsi que les premiers programmes réalisant des calculs symboliques complexes ont été mis au point dans les années 60 par les physiciens théoriciens dans les domaines de la mécanique céleste, de la relativité générale et surtout de la physique atomique pour l’étude des particules élémentaires.
L’exemple le plus souvent cité est celui du calcul algébrique des éphémérides de la Lune effectué à la main par l’astronome français C. Delaunay de 1847 à 1867. Un programme de calcul symbolique réalisé en 1970 par A. Deprit, J. Henrard et A. Rom de la société Boeing fut capable, en 20 h, de reproduire et de vérifier l’ensemble des calculs de Delaunay [1].
Les concepteurs de ces programmes se sont rendus compte très vite que leurs performances reposaient sur une bonne réalisation des objets de base, par exemple des polynômes. Les algorithmes mis en œuvre sont alors susceptibles de constituer le cœur d’un programme de calcul formel intéressant non seulement les chercheurs d’une discipline spécialisée mais aussi tout ingénieur ou chercheur amené dans sa pratique quotidienne à faire du calcul symbolique. Les possibilités de ces programmes se sont étendues à tous les domaines où l’algèbre a obtenu des résultats constructifs. De manière à permettre à l’utilisateur d’écrire ses propres fonctions et ses propres programmes, un langage de haut niveau et de syntaxe aisée est généralement adjoint à l’ensemble des programmes, ainsi qu’une interface avec le système d’exploitation de la machine hôte et ses programmes de base, éditeur, gestion des fichiers par exemple.
On peut donc définir un système de calcul formel comme un ensemble de programmes caractérisé par la présence :
-
de modules de manipulations d’expressions algébriques (comme les polynômes), et réalisant des opérations pour lesquelles des algorithmes efficients ont été découverts (comme la factorisation des polynômes) ;
-
de commandes pour définir l’environnement de calcul et réaliser l’interface avec d’autres programmes...
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Notion de système de calcul formel
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - PAVELLE (R.), ROTHSTEIN (M.), FITCH (J.) - L’algèbre informatique, in - Le Calcul Intensif, Bibliothèque Pour la Science, Diffusion Éditions Belin, Paris 1989, pp. 71‐84.
-
(2) - JENKS (R.D.), SUTOR (R.S.) - AXIOM : The Scientific Computation System. - Springer- Verlag, New York, 1992.
-
(3) - FAUGÈRE (J.C.) - Résolution des systèmes d’équations algébriques. - Thèse Université Paris 6, Février 1994.
-
(4) - Proceedings of the Macsyma User’s Conference, - Schenectady, New York, 1984.
-
(5) - HEARN (A.C.) - Reduce 2 : A System and Language for Algebraic Manipulations, in - Proceedings of the Second Symposium for Symbolic and Algebraic Manipulation, ACM Press, New York, 1971.
-
(6) - BORST (W.N.), GOLDMAN (V.V.), Van HULZEN (J.A.) - GENTRAN 90 : A Reduce...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Conférences internationales
* - ISSAC (International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation).
* - AAECC (Applied Algebra, Algebraic Algorithmes and Error-Correcting Codes).
Revues
* - Journal of Symbolic Computation, Academic Press.
* - SIGSAM Bulletin (trimestriel) ACM.
* - The Mathematica Journal, Wolfram.
Media
* - http://www.mathematica-journal.com
HAUT DE PAGE
(liste non exhaustive)
REDUCE http://www.uni-koeln.de/REDUCE
MACSYMA http://www.scientek.com/macsyma/main.htm
MAPLE http://www.mapplesoft.com
MATHEMATICA http://www.wolfram.com/products/mathematica
DERIVE http://www.derive-europe.com
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