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Auteur(s)
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Didier PINCHON : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint‐Cloud - Docteur ès‐sciences - Chercheur au Laboratoire « Mathématiques pour l’industrie et la physique »,Université Paul Sabatier , Toulouse
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Lire l’articleINTRODUCTION
L e calcul scientifique sur ordinateur se présente principalement sous deux aspects différents et complémentaires.
D’une part, le calcul numérique traditionnel où est exploitée la capacité des ordinateurs à effectuer rapidement un grand nombre d’opérations arithmétiques sur les nombres réels. Les résultats de ce type de calcul sont approchés et ils dépendent du choix de la représentation des nombres réels et de la façon dont sont effectuées les opérations arithmétiques. L’accumulation des erreurs d’arrondis, les problèmes de mauvais conditionnement sont pour les calculs numériques des obstacles fréquents à l’obtention de résultats reproductibles et fiables.
D’autre part, le calcul symbolique ou calcul formel consiste à faire effectuer par l’ordinateur des calculs mathématiques exacts : développements, transformations, simplifications de formules. Un aspect typique du calcul formel est que les symboles dans les formules ne sont pas nécessairement remplacés par des valeurs numériques particulières mais conservés lors du déroulement des calculs. Tous les calculs présentant un caractère d’automatisme, c’est‐à‐dire dont les étapes obéissent à un ensemble bien précis et cohérent de règles, peuvent être effectués par ordinateur. Des formules courantes de l’art de l’ingénieur, le calcul différentiel et intégral, par exemple, sont ainsi traitées par des programmes informatiques avec une fiabilité bien supérieure à celle d’un calcul manuel et avec des limites pour la taille des calculs incomparablement plus grandes.
Le calcul formel est un domaine de recherche en pleine expansion. Dans tous les secteurs où les mathématiciens obtiennent des résultats constructifs, de nouveaux algorithmes spécifiques sont mis au point, transformés en programmes et expérimentés.
Un système de calcul formel est un logiciel regroupant des programmes de calcul symbolique relatifs à un domaine spécialisé ou bien au contraire des programmes assez généraux pour effectuer tous les calculs mathématiques usuels de l’ingénieur mathématicien. Un système de calcul formel se présente à l’utilisateur sous la forme d’un ensemble de commandes et d’un langage plus ou moins élaboré lui permettant d’organiser ses calculs et même quelquefois d’étendre le système lui‐même. Les systèmes de calcul formel les plus répandus contiennent également des programmes numériques et des utilitaires graphiques pour faciliter l’interprétation et l’exploitation des résultats.
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Notion de système de calcul formel
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4. Calcul formel et applications
4.1 Problèmes de développement de logiciel
Lorsqu’un ingénieur ou un chercheur se trouvent confrontés à un problème dont la solution nécessite de nombreuses manipulations symboliques, ils peuvent choisir, pour résoudre ce seul problème, de rédiger un programme ou un ensemble de programmes dans un langage de programmation usuel comme Fortran, C, C++ ou Lisp. A priori, tous les langages de programmation assez puissants peuvent convenir, mais certains présentent des caractéristiques qui rendent la tâche plus aisée.
Ainsi, la possibilité de définir des structures complexes en langage C facilite la présentation des objets à manipuler. Un langage de la famille des Lisp ouvre les possibilités d’une programmation de type fonctionnel. Dans la plupart des cas, de tels programmes, que l’on peut appeler dédiés, se révèlent très performants pour résoudre le problème ou la classe de problèmes pour lesquels ils ont été conçus.
Cependant, il est usuel de voir apparaître des difficultés comme le manque de souplesse pour étendre la classe des problèmes résolubles par ces programmes ou en donner accès à une communauté d’utilisateurs. Pratiquement, seul le concepteur a les moyens d’assurer la maintenance et l’extension de ses programmes. De plus, dans la plupart des cas, certains des algorithmes de base, comme la manipulation des polynômes, doivent être spécialement réécrits.
En offrant une plate‐forme de développement de bonne qualité intégrant les possibilités algébriques classiques avec des algorithmes de base éprouvés, les systèmes de calcul formel à large spectre permettent au concepteur de se consacrer à la partie la plus spécifique de son programme. Il en résulte souvent une meilleure qualité logicielle (lisibilité du code, maintenance et réutilisation plus aisées), un temps de réalisation plus court et une plus grande facilité pour la constitution de bibliothèques de programmes.
Cependant, la comparaison entre les systèmes de calcul formel dédiés et les systèmes plus généraux est toujours d’un grand intérêt pour au moins la raison suivante : lorsqu’un système dédié affiche des performances bien meilleures qu’un système général, que n’expliquent pas seulement les considérations d’encombrement, il y a lieu de comprendre quelles sont les améliorations...
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Calcul formel et applications
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - PAVELLE (R.), ROTHSTEIN (M.), FITCH (J.) - L’algèbre informatique, in - Le Calcul Intensif, Bibliothèque Pour la Science, Diffusion Éditions Belin, Paris 1989, pp. 71‐84.
-
(2) - JENKS (R.D.), SUTOR (R.S.) - AXIOM : The Scientific Computation System. - Springer- Verlag, New York, 1992.
-
(3) - FAUGÈRE (J.C.) - Résolution des systèmes d’équations algébriques. - Thèse Université Paris 6, Février 1994.
-
(4) - Proceedings of the Macsyma User’s Conference, - Schenectady, New York, 1984.
-
(5) - HEARN (A.C.) - Reduce 2 : A System and Language for Algebraic Manipulations, in - Proceedings of the Second Symposium for Symbolic and Algebraic Manipulation, ACM Press, New York, 1971.
-
(6) - BORST (W.N.), GOLDMAN (V.V.), Van HULZEN (J.A.) - GENTRAN 90 : A Reduce...
ANNEXES
(liste non exhaustive)
REDUCEhttp://www.uni-koeln.de/REDUCE
MACSYMAhttp://www.scientek.com/macsyma/main.htm
MAPLEMATHEMATICAhttp://www.wolfram.com/products/mathematica
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