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Auteur(s)
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Didier PINCHON : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint‐Cloud - Docteur ès‐sciences - Chercheur au Laboratoire « Mathématiques pour l’industrie et la physique »,Université Paul Sabatier , Toulouse
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Lire l’articleINTRODUCTION
L e calcul scientifique sur ordinateur se présente principalement sous deux aspects différents et complémentaires.
D’une part, le calcul numérique traditionnel où est exploitée la capacité des ordinateurs à effectuer rapidement un grand nombre d’opérations arithmétiques sur les nombres réels. Les résultats de ce type de calcul sont approchés et ils dépendent du choix de la représentation des nombres réels et de la façon dont sont effectuées les opérations arithmétiques. L’accumulation des erreurs d’arrondis, les problèmes de mauvais conditionnement sont pour les calculs numériques des obstacles fréquents à l’obtention de résultats reproductibles et fiables.
D’autre part, le calcul symbolique ou calcul formel consiste à faire effectuer par l’ordinateur des calculs mathématiques exacts : développements, transformations, simplifications de formules. Un aspect typique du calcul formel est que les symboles dans les formules ne sont pas nécessairement remplacés par des valeurs numériques particulières mais conservés lors du déroulement des calculs. Tous les calculs présentant un caractère d’automatisme, c’est‐à‐dire dont les étapes obéissent à un ensemble bien précis et cohérent de règles, peuvent être effectués par ordinateur. Des formules courantes de l’art de l’ingénieur, le calcul différentiel et intégral, par exemple, sont ainsi traitées par des programmes informatiques avec une fiabilité bien supérieure à celle d’un calcul manuel et avec des limites pour la taille des calculs incomparablement plus grandes.
Le calcul formel est un domaine de recherche en pleine expansion. Dans tous les secteurs où les mathématiciens obtiennent des résultats constructifs, de nouveaux algorithmes spécifiques sont mis au point, transformés en programmes et expérimentés.
Un système de calcul formel est un logiciel regroupant des programmes de calcul symbolique relatifs à un domaine spécialisé ou bien au contraire des programmes assez généraux pour effectuer tous les calculs mathématiques usuels de l’ingénieur mathématicien. Un système de calcul formel se présente à l’utilisateur sous la forme d’un ensemble de commandes et d’un langage plus ou moins élaboré lui permettant d’organiser ses calculs et même quelquefois d’étendre le système lui‐même. Les systèmes de calcul formel les plus répandus contiennent également des programmes numériques et des utilitaires graphiques pour faciliter l’interprétation et l’exploitation des résultats.
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Calcul formel et applications
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3. Systèmes de calcul formel à large spectre
Il existe plusieurs centaines de systèmes ou langages de calcul formel. Nous ne donnons ici que quelques caractéristiques des langages à large spectre les plus répandus.
3.1 Macsyma
L’une des composantes du projet MAC du Massachusetts Institute of Technology a été, à partir de 1969, la réalisation du MAC’s SYmbolic MAnipulator (Macsyma). Les possibilités algébriques de Macsyma sont extrêmement variées : différentiation et intégration des fonctions, calculs de limites, résolution de systèmes d’équations linéaires ou polynomiales, développement des fonctions en série de Taylor ou de Laurent, séries trigonométriques, calculs matriciel et tensoriel, tracé de courbes.
Un langage de haut niveau permet à l’utilisateur d’écrire ses propres programmes de transformations d’expressions symboliques. Macsyma est écrit en Lisp (MAC‐Lisp ou Frantz Lisp) mais ne donne pas accès au code source algébrique : il est donc délicat de connaître la représentation interne des objets manipulés par Macsyma et le détail exact des algorithmes implémentés. Les fonctions écrites par l’utilisateur restent interprétées, ce qui est un facteur de lenteur d’exécution, et s’il souhaite les compiler, il doit les rédiger en Lisp et assurer l’interface avec Macsyma. Ce travail n’est pas de la plus grande facilité et reste réservé au spécialiste.
Macsyma est un système très complet de calcul formel et contient de nombreux algorithmes reflétant l’état de l’art. La bibliothèque SHARE distribuée avec la version de base contient les algorithmes développés par la communauté des utilisateurs. De nombreux exemples d’applications sont présentés dans les comptes‐rendus des colloques consacrés à ce langage [4] et des conférences internationales sur le calcul formel.
De conception maintenant ancienne, Macsyma est fortement concurrencé par des systèmes tels que Maple, Mathematica et Axiom. Cependant, la dernière version de Macsyma, qui fonctionne sur ordinateur individuel, possède des aspects de convivialité intéressants.
HAUT DE PAGE3.2 Reduce
Le système Reduce a été conçu par A.C. Hearn [5] pour effectuer en traitement...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - PAVELLE (R.), ROTHSTEIN (M.), FITCH (J.) - L’algèbre informatique, in - Le Calcul Intensif, Bibliothèque Pour la Science, Diffusion Éditions Belin, Paris 1989, pp. 71‐84.
-
(2) - JENKS (R.D.), SUTOR (R.S.) - AXIOM : The Scientific Computation System. - Springer- Verlag, New York, 1992.
-
(3) - FAUGÈRE (J.C.) - Résolution des systèmes d’équations algébriques. - Thèse Université Paris 6, Février 1994.
-
(4) - Proceedings of the Macsyma User’s Conference, - Schenectady, New York, 1984.
-
(5) - HEARN (A.C.) - Reduce 2 : A System and Language for Algebraic Manipulations, in - Proceedings of the Second Symposium for Symbolic and Algebraic Manipulation, ACM Press, New York, 1971.
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(6) - BORST (W.N.), GOLDMAN (V.V.), Van HULZEN (J.A.) - GENTRAN 90 : A Reduce...
ANNEXES
(liste non exhaustive)
REDUCEhttp://www.uni-koeln.de/REDUCE
MACSYMAhttp://www.scientek.com/macsyma/main.htm
MAPLEMATHEMATICAhttp://www.wolfram.com/products/mathematica
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