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Auteur(s)
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Xavier JEANNEAU : Agrégé de mathématiques - Professeur en classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs,lycée Aristide-Briand d’Évreux
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les performances spectaculaires du calcul électronique ont depuis longtemps conduit les scientifiques à confier aux ordinateurs le calcul numérique ; il en a résulté un partage des tâches : tout en cédant aux machines le domaine des applications numériques, c’est-à-dire des approximations, l’homme, s’estimant seul capable de raisonner et de mener à bien un calcul algébrique, s’est réservé la maîtrise de l’exactitude. L’apparition des systèmes de calcul formel, capables d’effectuer des calculs algébriques bien au-delà des possibilités humaines, a remis en cause cette répartition rassurante.
L’introduction en 1995 de l’apprentissage d’un logiciel de calcul symbolique dans l’enseignement des classes préparatoires scientifiques a précipité en France cette évolution. Après hésitation entre les logiciels Mathematica et Maple, c’est ce dernier, moins cher et d’un premier abord plus facile, qui a été très majoritairement adopté.
Sans aucune connaissance préalable, cette découverte progressive du logiciel Maple n’est pas pour autant un simple mode d’emploi : au fil de cette exploration, nous avons voulu souligner les caractères généraux du calcul formel en soulevant quelques questions sur le logiciel :
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sa fiabilité : peut-on démontrer un théorème à l’aide de Maple ? Quelle est en calcul formel la représentation d’une expression algébrique ? Comment le logiciel simule-t-il une activité mathématique ?
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la manière de l’utiliser : doit-on préférer exécuter les instructions une à une, de manière interactive, ou rédiger des programmes ? Quel est le style de programmation qui s’adapte le mieux au calcul formel ? Quel type de données utiliser pour la géométrie, l’analyse ou l’algèbre linéaire ?
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son impact : comment le calcul formel change-t-il notre manière de travailler ? Faut-il encore connaître des mathématiques ? Peut-on tout traiter avec Maple ?
Notre ambition étant de montrer que le calcul symbolique peut modifier de manière significative la pratique du travail scientifique, nous nous appuyons sur quelques exemples, peu nombreux mais approfondis. Ne faisant appel qu’aux connaissances mathématiques de première année d’enseignement supérieur, ils requièrent néanmoins une lecture attentive.
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Les expressions, objets de base du calcul formel
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1. Qu’est-ce que le calcul formel ?
1.1 Une démonstration avec Maple : les cercles de Villarceau
Voici un problème classique de géométrie illustrant bien ce que permet Maple.
On considère dans un plan de l’espace un cercle Γ de centre ω et de rayon r et une droite Δ située à une distance R > r de ω. Par rotation de ce cercle autour de l’axe Δ, on obtient la surface
bien connue appelée tore. Soit alors un repère orthonormal Oxyz, où O est la projection de ω sur Δ et dont les axes sont tels que Ox = Oω et Oz = Δ. Les plans horizontaux et les plans contenant Δ coupent en général
selon deux cercles (figure 1).
Villarceau a démontré que tout plan passant par O et tangent au tore coupe aussi
selon deux cercles. On se propose de retrouver ce résultat par un calcul à l’aide de Maple.
Pour traiter ce problème par le calcul, il faut paramétrer
. Des équations paramétriques du cercle Γ, on déduit celles du tore
par des rotations d’angle ϕ autour de Oz :
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Qu’est-ce que le calcul formel ?
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - * - Pour le lecteur désireux d’étendre cette exploration, outre le mode d’emploi du logiciel , nous conseillons d’abord , très facile d’accès et couvrant l’essentiel des applications de niveau premier cycle universitaire. Si le lecteur est plus intéressé par l’approfondissement du calcul formel tel que nous l’avons esquissé, la meilleure référence est de loin . À l’inverse de notre approche, les exemples accompagnant ces deux ouvrages sont brefs et nombreux. Enfin, ceux qu’un peu plus de mathématiques n’effraie pas pourront consulter .
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(2) - * - et sont deux références très classiques sur les mathématiques qui sous-tendent le calcul formel ; montre très bien quelles nouvelles recherches il suscite.
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(3) - * - est la traduction d’un des guides fournis avec le logiciel, très utile si les indications données ici sur la programmation de Maple semblent trop sommaires.
-
(4) - * - De nombreux livres d’exercices sur Maple préparent aux concours d’accès aux grandes écoles d’ingénieurs. À ceux qu’intéresse la confrontation des logiciels Maple et Mathematica, je me permets de signaler . On y découvre qu’une fois maîtrisé l’un...
ANNEXES
Les exemples traités dans cet article ont été rédigés avec la version la plus répandue en 2001 : Maple V Release 5. Toutefois, depuis la Release 4 jusqu’à la toute dernière Release 7, aucune modification essentielle n’est intervenue sur le fonctionnement courant du logiciel et les instructions peuvent être adaptées sans changement important.
Fournisseur du logiciel : Waterloo Maple Inc.
Distributeur en France : Math Center
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