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Auteur(s)
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Xavier JEANNEAU : Agrégé de mathématiques - Professeur en classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs,lycée Aristide-Briand d’Évreux
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les performances spectaculaires du calcul électronique ont depuis longtemps conduit les scientifiques à confier aux ordinateurs le calcul numérique ; il en a résulté un partage des tâches : tout en cédant aux machines le domaine des applications numériques, c’est-à-dire des approximations, l’homme, s’estimant seul capable de raisonner et de mener à bien un calcul algébrique, s’est réservé la maîtrise de l’exactitude. L’apparition des systèmes de calcul formel, capables d’effectuer des calculs algébriques bien au-delà des possibilités humaines, a remis en cause cette répartition rassurante.
L’introduction en 1995 de l’apprentissage d’un logiciel de calcul symbolique dans l’enseignement des classes préparatoires scientifiques a précipité en France cette évolution. Après hésitation entre les logiciels Mathematica et Maple, c’est ce dernier, moins cher et d’un premier abord plus facile, qui a été très majoritairement adopté.
Sans aucune connaissance préalable, cette découverte progressive du logiciel Maple n’est pas pour autant un simple mode d’emploi : au fil de cette exploration, nous avons voulu souligner les caractères généraux du calcul formel en soulevant quelques questions sur le logiciel :
-
sa fiabilité : peut-on démontrer un théorème à l’aide de Maple ? Quelle est en calcul formel la représentation d’une expression algébrique ? Comment le logiciel simule-t-il une activité mathématique ?
-
la manière de l’utiliser : doit-on préférer exécuter les instructions une à une, de manière interactive, ou rédiger des programmes ? Quel est le style de programmation qui s’adapte le mieux au calcul formel ? Quel type de données utiliser pour la géométrie, l’analyse ou l’algèbre linéaire ?
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son impact : comment le calcul formel change-t-il notre manière de travailler ? Faut-il encore connaître des mathématiques ? Peut-on tout traiter avec Maple ?
Notre ambition étant de montrer que le calcul symbolique peut modifier de manière significative la pratique du travail scientifique, nous nous appuyons sur quelques exemples, peu nombreux mais approfondis. Ne faisant appel qu’aux connaissances mathématiques de première année d’enseignement supérieur, ils requièrent néanmoins une lecture attentive.
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Traitement des données multiples
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2. Les expressions, objets de base du calcul formel
2.1 Variables et valeurs
Considérons l’expression mathématique
, à normaliser de telle sorte que son intégrale de – ∞ à + ∞ ait pour valeur 1. Cela peut se traduire par les instructions suivantes :
>[nbsp ]restart;
>[nbsp ]y:=exp(–x^2);
>[nbsp ]s:=int(y,x=–infinity..infinity);
>[nbsp ]y:=y/s;
Ces instructions font intervenir des identificateurs dont certains désignent des fonctions ou constantes prédéfinis par Maple, comme exp, int et infinity, et d’autres sont des symboles appelés noms, comme x, y et s. Chacune de ces instructions de la forme :
est une affectation, à lire de droite à gauche. Le terme de droite est évalué par Maple puis enregistré sous le nom indiqué à gauche. Cette association entre un nom et une valeur constitue une variable (au sens informatique) : c’est ici le cas de y et s.
Ces noms de variables peuvent aussi figurer à droite du symbole :=, si bien que lors de l’évaluation d’une expression, ces noms sont remplacés par leurs valeurs jusqu’à épuisement des renvois successifs : c’est le mécanisme de l’évaluation complète.
L’originalité du calcul formel vient de la possibilité pour une expression de contenir aussi des noms n’ayant pas fait...
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Les expressions, objets de base du calcul formel
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - * - Pour le lecteur désireux d’étendre cette exploration, outre le mode d’emploi du logiciel HEAL (K.M.), HANSEN (M.L.), RICKARD (K.M.) - Maple V : learning guide., nous conseillons d’abord CORNIL (J.M.), TESTUD (P.) - Maple : introduction raisonnée à l’usage de l’étudiant, de l’ingénieur et du chercheur., très facile d’accès et couvrant l’essentiel des applications de niveau premier cycle universitaire. Si le lecteur est plus intéressé par l’approfondissement du calcul formel tel que nous l’avons esquissé, la meilleure référence est de loin GOMEZ (C.), SALVY (B.), ZIMMERMANN (P.) - Calcul formel : mode d’emploi – Exemples en Maple.. À l’inverse de notre approche, les exemples accompagnant ces deux ouvrages sont brefs et nombreux. Enfin, ceux qu’un peu plus de mathématiques n’effraie pas pourront consulter DUMAS (P.), GOURDON (X.) - Maple : son bon usage en mathématiques..
-
(2) - * - MIGNOTTE (M.) - Mathématiques pour le calcul formel. et DAVENPORT (J.), SIRET (Y.), TOURNIER (E.) - Calcul formel : systèmes et algorithmes de manipulations algébriques. sont deux références très classiques sur les mathématiques qui sous-tendent le calcul formel ; DAVENPORT (J.), SIRET (Y.), TOURNIER (E.) - Calcul formel : systèmes et algorithmes de manipulations algébriques. montre très bien quelles nouvelles recherches il suscite.
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(3) - * - MONAGAN (M.B.), GEDDES (K.O.), HEAL (K.M.), LABAHN (G.), VORKOETTER (S.M.)...
ANNEXES
Les exemples traités dans cet article ont été rédigés avec la version la plus répandue en 2001 : Maple V Release 5. Toutefois, depuis la Release 4 jusqu’à la toute dernière Release 7, aucune modification essentielle n’est intervenue sur le fonctionnement courant du logiciel et les instructions peuvent être adaptées sans changement important.
Fournisseur du logiciel : Waterloo Maple Inc.
Distributeur en France : Math Center
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