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RÉSUMÉ
Il est souvent difficile de se faire une idée de l'intérêt des notions théoriques abordées dans le traité de Mathématiques pour l'ingénieur ou dans les livres d'analyse numérique et de mathématiques appliquées. Ces notions sont souvent présentées séparément et l'on a du mal à voir comment elles sont reliées . Comme dans d'autres domaines des mathématiques, l'analyse fonctionnelle a permis d'unifier un certain nombre de concepts, de problèmes et de méthodes de l'analyse numérique jusque-là sans liens ou, tout au moins, de leur donner une base commune. De l'analyse fonctionnelle jusqu'aux applications, on comprend comment tout se tient, tout s'enchaîne.
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Claude BREZINSKI : Docteur es Sciences Mathématiques - Professeur Émérite - Laboratoire Paul Painlevé UMR CNRS 8524 - Université des Sciences et Technologies de Lille
INTRODUCTION
Il est souvent difficile de se faire une idée de l'intérêt des diverses notions théoriques abordées dans le traité de Mathématiques pour l'ingénieur ainsi que dans les livres d'analyse numérique et de mathématiques appliquées. Elles sont d'habitude présentées séparemment les unes des autres et l'on a du mal à voir comment elles sont reliées et pourquoi. Le but de cet article est d'apporter, du moins partiellement, quelques éléments de réponse et de servir de lien entre différents articles de ce traité.
Comme dans d'autres domaines des mathématiques, l'analyse fonctionnelle a permis d'unifier un certain nombre de concepts, de problèmes et de méthodes de l'analyse numérique jusque là sans liens ou, tout au moins, de leur donner une base commune.
Nous avons voulu ici, en partant de l'analyse fonctionnelle et en allant jusqu'aux applications, montrer comment tout se tient, tout s'enchaîne. Le but recherché n'est en aucun cas d'essayer d'être exhaustif mais seulement d'illustrer cette idée par quelques exemples le plus souvent déjà étudiés dans d'autres articles. On pourra, en particulier, consulter [AF 190] [AF 191] [AF 106] [AF 1 220] [AF 1 221] [AF 1 111] [AF 508] [AF 101] [AF 1 380] [AF 567] [AF 568] [AF 520] [AF 488] [AF 1 372], les références qui y sont citées ainsi que les nombreux autres articles de ce traité sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles. D'autres références de caractère général complètent la bibliographie. Celles en français ont été privilégiées.
Les démonstrations de certains résultats ont été données car elles permettent de mieux saisir les idées.
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Espaces et problèmes usuels
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1. Les problèmes posés
Soient X et Y deux espaces vectoriels et T : X → Y. Soient x ∊ X et y ∊ Y. On considère l'équation
II existe trois types de problèmes en analyse numérique :
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le problème direct : T et x étant donnés, calculer y (par exemple le calcul d'une intégrale définie) ;
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le problème inverse : T et y étant donnés, trouver x (par exemple les systèmes d'équations, les équations différentielles et intégrales) ;
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le problème de l'identification : x et y étant donnés, trouver T (par exemple l'approximation de fonctions).
Quand X et Y sont de dimension infinie, un traitement direct du problème est, en général, impossible et l'on doit le reformuler en dimension finie
avec xn ∊ Xn , un ∊ Yn , Tn : Xn → Yn , Xn et Yn de dimensions finies. Un tel procédé est appelé discrétisation et il introduit naturellement une erreur, l'erreur de discrétisation. Il faudra donc pouvoir mesurer l'écart entre x et xn . Il sera également nécessaire de savoir si (xn ) converge vers x (ou (yn ) vers y, ou (Tn ) vers T) lorsque les dimensions de Xn et Yn tendent vers l'infini.
Il se peut également que le problème initial (ou le problème discrétisé) ne puisse pas être résolu de manière exacte mais seulement de façon approchée (par exemple dans le cas d'équations non linéaires). On introduit alors une erreur due à la méthode numérique et il faut être capable de l'estimer ou de la majorer ...
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Les problèmes posés
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZINSKI (C.) - Padé – Type Approximation and General Orthogonal Polynomials - ISNM, vol. 50, Birkhäuser-Verlag, Basel (1980).
-
(2) - BREZINSKI (C.) - Projection Methods for Systems of Equations - North-Holland, Amsterdam (1997).
-
(3) - CHARTRES (B.), STEPLEMAN (R.) - A general theory of convergence for numerical methods - SIAM J. Numer. Anal., 9, 476-492 (1972).
-
(4) - CIARLET (P.G.) - Introduction à l'Analyse Numérique Matricielle et à l'Optimisation - Masson, Paris (1982).
-
(5) - CIARLET (P.G.) - Linear and Nonlinear Functional Analysis With Applications - SIAM, Philadelphia (2013).
-
(6) - CROUZEIX (M.), MIGNOT (A.L.) - Analyse Numérique des Équations Différentielles - 2e éd. Masson, Paris (1989).
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