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RÉSUMÉ
Il est souvent difficile de se faire une idée de l'intérêt des notions théoriques abordées dans le traité de Mathématiques pour l'ingénieur ou dans les livres d'analyse numérique et de mathématiques appliquées. Ces notions sont souvent présentées séparément et l'on a du mal à voir comment elles sont reliées . Comme dans d'autres domaines des mathématiques, l'analyse fonctionnelle a permis d'unifier un certain nombre de concepts, de problèmes et de méthodes de l'analyse numérique jusque-là sans liens ou, tout au moins, de leur donner une base commune. De l'analyse fonctionnelle jusqu'aux applications, on comprend comment tout se tient, tout s'enchaîne.
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Claude BREZINSKI : Docteur es Sciences Mathématiques - Professeur Émérite - Laboratoire Paul Painlevé UMR CNRS 8524 - Université des Sciences et Technologies de Lille
INTRODUCTION
Il est souvent difficile de se faire une idée de l'intérêt des diverses notions théoriques abordées dans le traité de Mathématiques pour l'ingénieur ainsi que dans les livres d'analyse numérique et de mathématiques appliquées. Elles sont d'habitude présentées séparemment les unes des autres et l'on a du mal à voir comment elles sont reliées et pourquoi. Le but de cet article est d'apporter, du moins partiellement, quelques éléments de réponse et de servir de lien entre différents articles de ce traité.
Comme dans d'autres domaines des mathématiques, l'analyse fonctionnelle a permis d'unifier un certain nombre de concepts, de problèmes et de méthodes de l'analyse numérique jusque là sans liens ou, tout au moins, de leur donner une base commune.
Nous avons voulu ici, en partant de l'analyse fonctionnelle et en allant jusqu'aux applications, montrer comment tout se tient, tout s'enchaîne. Le but recherché n'est en aucun cas d'essayer d'être exhaustif mais seulement d'illustrer cette idée par quelques exemples le plus souvent déjà étudiés dans d'autres articles. On pourra, en particulier, consulter [AF 190] [AF 191] [AF 106] [AF 1 220] [AF 1 221] [AF 1 111] [AF 508] [AF 101] [AF 1 380] [AF 567] [AF 568] [AF 520] [AF 488] [AF 1 372], les références qui y sont citées ainsi que les nombreux autres articles de ce traité sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles. D'autres références de caractère général complètent la bibliographie. Celles en français ont été privilégiées.
Les démonstrations de certains résultats ont été données car elles permettent de mieux saisir les idées.
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Théorème du graphe fermé
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4. Théorème de Hahn-Banach
Soient X et Y deux espaces vectoriels et T un opérateur linéaire de X dans Y, de domaine de définition
. Lorsque I'inclusion est stricte on peut se poser le problème d'étendre T à un domaine plus grand.
Définition 1
Soient T 1 et T 2 deux opérateurs linéaires de domaines respectifs D 1 et D 2. On dira que T 2 est une extension linéaire de T 1 à D 2 si
1.
,
2. ∀x ∊ D 1, T 2 x = T 1 x.
On dit également que T 1 est la restriction de T 2 à D 1.
Dans l'ensemble des applications linéaires de domaine contenu dans X et à valeurs dans Y, les deux relations précédentes constituent une relation d'ordre et l'on écrira
.
4.1 Le théorème
Nous allons maintenant énoncer et démontrer le théorème de Hahn-Banach. Cette démonstration fait appel d'une manière ou d'une autre à l'axiome du choix (axiome de Zorn, axiome du choix ou axiome de Zermelo). Nous admettrons donc que tout ensemble peut être bien ordonné, c'est-à-dire que toute partie non vide d'un ensemble admet un plus petit élément.
Théorème 4
Soit X un espace vectoriel sur
et soit p une semi-norme sur X,...
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