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Auteur(s)
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Pierre SPITERI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse
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On a vu dans l’article Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires que la discrétisation d’équations aux dérivées partielles stationnaires conduisait à la résolution de systèmes linéaires de grande dimension dont la matrice est creuse. De même, la discrétisation d’équations aux dérivées partielles d’évolution par des schémas implicites (article Méthode des différences finies pour les EDP d’évolution) conduit également à la résolution de systèmes linéaires ayant les mêmes caractéristiques. Compte tenu de cette spécificité, l’inversion des matrices issues de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles devient de plus en plus préoccupante dans le domaine de la simulation numérique et est, par conséquent, très délicate, compte tenu, en particulier, du mauvais conditionnement de ces matrices. Cet aspect dépend fortement des applications traitées et il est hors de question de donner une réponse universelle à ce problème. C’est pourquoi, dans cet article, nous allons passer en revue différentes méthodes de résolution de tels systèmes, pour essayer de dégager les algorithmes les plus performants.
Dans le cas de la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles non linéaire, on doit résoudre un système algébrique non linéaire ; la résolution d’un tel système s’effectuera par une méthode itérative de type méthode de Newton , ce qui nécessitera, à chaque itération, une linéarisation de l’application considérée autour du point courant et la résolution d’un système linéaire ; l’étude de la convergence de ce type de méthode est loin d’être triviale et les résultats théoriques garantissant la convergence de la méthode sont établis uniquement dans des situations particulières. Si l’équation aux dérivées partielles est linéaire, on aura à résoudre un système linéaire ce qui, en théorie, paraît plus simple ; cependant il subsiste des difficultés d’ordre numérique pour déterminer la solution approchée. Dans cet exposé, nous nous limiterons au cas linéaire.
On rappelle que l’étude concernant la méthode des différences finies pour résoudre des équations aux dérivées partielles se décompose en trois articles :
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Méthode des différences finies pour les EDP stationnairesMéthode des différences finies pour les EDP stationnaires ;
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Méthode des différences finies pour les EDP d’évolutionMéthode des différences finies pour les EDP d’évolution ;
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— [AF 502] Algorithmes numériques pour la résolution des grands systèmes.
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Méthode multigrille
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4. Méthodes issues de la minimisation de formes quadratiques
On considère la minimisation d’une forme quadratique du type :
avec :
où A = A t (symétrie), ce qui correspond à une hypothèse non restrictive, et définie positive qui assure la stricte convexité de J (V ) ; dans ce contexte théorique minimal, on est assuré de l’existence et de l’unicité du minimum, ce dernier étant caractérisé, dans le cas d’optimisation sans contrainte, par l’équation d’Euler J ′(U ) = 0 ; on vérifie alors aisément que la valeur de U qui rend minimale J est caractérisée par la relation J ′(U ) = AU – F = 0, c’est-à-dire que U est solution du système linéaire AU = F. Ainsi minimiser J (U ) revient à résoudre ce système linéaire. Le problème revient donc à déterminer des algorithmes efficaces de minimisation de formes quadratiques.
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La méthode la plus simple et la plus connue est la méthode de plus profonde descente ; malheureusement, cette méthode est peu efficace dans le cas de systèmes algébriques linéaires issus de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles, compte tenu du fait que, dans ce cas, le nombre de conditionnement C (A ) est élevé, ce dernier nombre permettant d’estimer la vitesse asymptotique de convergence de l’algorithme, donnée par l’estimation :
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...
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Méthodes issues de la minimisation de formes quadratiques
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARANGER (J.) - Analyse numérique. - Hermann (1991).
-
(2) - MEURANT (G.) - Computer solution of large linear systems. - North Holland (1999).
-
(3) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Tomes 1 et 2, Masson (1986).
-
(4) - McCORMICK (S.) - Multigrid methods. - SIAM (1987).
-
(5) - HACKBUSCH (W.) - Multigrid methods and applications. - Computational Mathematics, Springer-Verlag (1980).
-
(6) - SAAD (Y.) - Iterative methods for sparse linear systems. - PWS Publishing Company (1996).
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(7) - AXELSON...
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