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Auteur(s)
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Pierre SPITERI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse
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On a vu dans l’article Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires que la discrétisation d’équations aux dérivées partielles stationnaires conduisait à la résolution de systèmes linéaires de grande dimension dont la matrice est creuse. De même, la discrétisation d’équations aux dérivées partielles d’évolution par des schémas implicites (article Méthode des différences finies pour les EDP d’évolution) conduit également à la résolution de systèmes linéaires ayant les mêmes caractéristiques. Compte tenu de cette spécificité, l’inversion des matrices issues de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles devient de plus en plus préoccupante dans le domaine de la simulation numérique et est, par conséquent, très délicate, compte tenu, en particulier, du mauvais conditionnement de ces matrices. Cet aspect dépend fortement des applications traitées et il est hors de question de donner une réponse universelle à ce problème. C’est pourquoi, dans cet article, nous allons passer en revue différentes méthodes de résolution de tels systèmes, pour essayer de dégager les algorithmes les plus performants.
Dans le cas de la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles non linéaire, on doit résoudre un système algébrique non linéaire ; la résolution d’un tel système s’effectuera par une méthode itérative de type méthode de Newton , ce qui nécessitera, à chaque itération, une linéarisation de l’application considérée autour du point courant et la résolution d’un système linéaire ; l’étude de la convergence de ce type de méthode est loin d’être triviale et les résultats théoriques garantissant la convergence de la méthode sont établis uniquement dans des situations particulières. Si l’équation aux dérivées partielles est linéaire, on aura à résoudre un système linéaire ce qui, en théorie, paraît plus simple ; cependant il subsiste des difficultés d’ordre numérique pour déterminer la solution approchée. Dans cet exposé, nous nous limiterons au cas linéaire.
On rappelle que l’étude concernant la méthode des différences finies pour résoudre des équations aux dérivées partielles se décompose en trois articles :
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Méthode des différences finies pour les EDP stationnairesMéthode des différences finies pour les EDP stationnaires ;
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Méthode des différences finies pour les EDP d’évolutionMéthode des différences finies pour les EDP d’évolution ;
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— [AF 502] Algorithmes numériques pour la résolution des grands systèmes.
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Méthodes itératives de relaxation par points et par blocs
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2. Méthodes directes
La première méthode de résolution envisageable du système linéaire précédent, est la méthode d’élimination de Gauss (ou ses variantes comme la méthode de Crout ou la méthode de Cholesky, etc.), dont la complexité, c’est-à-dire le nombre d’opérations arithmétiques, est de l’ordre de
; si A est une matrice symétrique, le nombre d’opérations arithmétiques se réduit à
; or on a vu que, dans le cas de résolution numérique d’équations aux dérivées partielles, dim(A ) est grand et, par conséquent, le nombre d’opérations arithmétiques devient vite important. Par ailleurs, on a vu également que, dans un grand nombre de cas, la discrétisation des équations aux dérivées partielles conduit à des matrices de discrétisation à structure bande du type suivant :
On peut tirer partie de cette situation grâce au résultat suivant :
Théorème 1. Pour une matrice A quelconque, soit :
On suppose que δi ¹ 0,
. Alors la matrice A se factorise en un produit L · R où R est une matrice triangulaire supérieure et L est une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients diagonaux sont égaux à l’unité. De plus, la matrice R est inversible et la factorisation est unique.
Remarque
Le fait que la factorisation L · R soit possible correspond à une méthode de Gauss dans laquelle on choisit comme pivot,...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARANGER (J.) - Analyse numérique. - Hermann (1991).
-
(2) - MEURANT (G.) - Computer solution of large linear systems. - North Holland (1999).
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(3) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Tomes 1 et 2, Masson (1986).
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(4) - McCORMICK (S.) - Multigrid methods. - SIAM (1987).
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(5) - HACKBUSCH (W.) - Multigrid methods and applications. - Computational Mathematics, Springer-Verlag (1980).
-
(6) - SAAD (Y.) - Iterative methods for sparse linear systems. - PWS Publishing Company (1996).
-
(7) - AXELSON...
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