Pierre SPITERI
: Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse
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On a vu dans l’article que la discrétisation d’équations aux dérivées partielles stationnaires conduisait à la résolution de systèmes linéaires de grande dimension dont la matrice est creuse. De même, la discrétisation d’équations aux dérivées partielles d’évolution par des schémas implicites (article ) conduit également à la résolution de systèmes linéaires ayant les mêmes caractéristiques. Compte tenu de cette spécificité, l’inversion des matrices issues de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles devient de plus en plus préoccupante dans le domaine de la simulation numérique et est, par conséquent, très délicate, compte tenu, en particulier, du mauvais conditionnement de ces matrices. Cet aspect dépend fortement des applications traitées et il est hors de question de donner une réponse universelle à ce problème. C’est pourquoi, dans cet article, nous allons passer en revue différentes méthodes de résolution de tels systèmes, pour essayer de dégager les algorithmes les plus performants.
Dans le cas de la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles non linéaire, on doit résoudre un système algébrique non linéaire ; la résolution d’un tel système s’effectuera par une méthode itérative de type méthode de Newton , ce qui nécessitera, à chaque itération, une linéarisation de l’application considérée autour du point courant et la résolution d’un système linéaire ; l’étude de la convergence de ce type de méthode est loin d’être triviale et les résultats théoriques garantissant la convergence de la méthode sont établis uniquement dans des situations particulières. Si l’équation aux dérivées partielles est linéaire, on aura à résoudre un système linéaire ce qui, en théorie, paraît plus simple ; cependant il subsiste des difficultés d’ordre numérique pour déterminer la solution approchée. Dans cet exposé, nous nous limiterons au cas linéaire.
Nota :
On rappelle que l’étude concernant la méthode des différences finies pour résoudre des équations aux dérivées partielles se décompose en trois articles :
Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires ;
Méthode des différences finies pour les EDP d’évolution ;
— [AF 502] Algorithmes numériques pour la résolution des grands systèmes.
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On a vu précédemment que la discrétisation d’équations aux dérivées partielles conduit à la résolution de systèmes algébriques de grande dimension ; les algorithmes présentés précédemment sont, en général et pour la plupart des applications, les plus performants sur les ordinateurs traditionnels. Actuellement, on assiste à une évolution de l’architecture des machines et, depuis une vingtaine d’années, on voit apparaître sur le marché des multiprocesseurs, machines équipées de plusieurs processeurs destinés à travailler en parallèle sur la même application. Bien évidemment, il est nécessaire d’adapter les algorithmes de résolution numérique des équations aux dérivées partielles à ce type de supercalculateur. Il existe plusieurs solutions. Soit on adapte les algorithmes précédents en exécutant en parallèle toutes les phases du programme qui sont indépendantes afin de tirer parti au maximum de l’architecture de la machine ; cet aspect relève plutôt de techniques informatiques et nous n’aborderons pas ici ce sujet.
Une autre façon de tirer avantage des possibilités des machines multiprocesseurs est de décomposer le domaine Ω où est définie l’équation aux dérivées partielles en une union de sous-domaines Ω i , de telle sorte que Ω = È Ω i .
À ce stade, plusieurs possibilités sont envisageables ; on peut soit considérer que :
Ω i Ç Ω k = ∅, si i ¹ k
où ∅ est l’ensemble vide et, dans ce cas, on parle de méthode de sous-domaines sans recouvrement, la plus connue étant la méthode du complément de Schur qui est une méthode semi-directe correspondant à une méthode d’élimination par blocs, le domaine Ω étant partitionné, par exemple, en quatre sous-domaines Ω i , i = 1, …, 4, disjoints couplés à une interface Γ. Ce mode de décomposition est représenté sur la figure 1, dans le cas de quatre sous-domaines. La matrice de discrétisation a alors l’allure ci-dessous :
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