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Auteur(s)
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Pierre SPITERI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse
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On a vu dans l’article Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires que la discrétisation d’équations aux dérivées partielles stationnaires conduisait à la résolution de systèmes linéaires de grande dimension dont la matrice est creuse. De même, la discrétisation d’équations aux dérivées partielles d’évolution par des schémas implicites (article Méthode des différences finies pour les EDP d’évolution) conduit également à la résolution de systèmes linéaires ayant les mêmes caractéristiques. Compte tenu de cette spécificité, l’inversion des matrices issues de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles devient de plus en plus préoccupante dans le domaine de la simulation numérique et est, par conséquent, très délicate, compte tenu, en particulier, du mauvais conditionnement de ces matrices. Cet aspect dépend fortement des applications traitées et il est hors de question de donner une réponse universelle à ce problème. C’est pourquoi, dans cet article, nous allons passer en revue différentes méthodes de résolution de tels systèmes, pour essayer de dégager les algorithmes les plus performants.
Dans le cas de la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles non linéaire, on doit résoudre un système algébrique non linéaire ; la résolution d’un tel système s’effectuera par une méthode itérative de type méthode de Newton , ce qui nécessitera, à chaque itération, une linéarisation de l’application considérée autour du point courant et la résolution d’un système linéaire ; l’étude de la convergence de ce type de méthode est loin d’être triviale et les résultats théoriques garantissant la convergence de la méthode sont établis uniquement dans des situations particulières. Si l’équation aux dérivées partielles est linéaire, on aura à résoudre un système linéaire ce qui, en théorie, paraît plus simple ; cependant il subsiste des difficultés d’ordre numérique pour déterminer la solution approchée. Dans cet exposé, nous nous limiterons au cas linéaire.
On rappelle que l’étude concernant la méthode des différences finies pour résoudre des équations aux dérivées partielles se décompose en trois articles :
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Méthode des différences finies pour les EDP stationnairesMéthode des différences finies pour les EDP stationnaires ;
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Méthode des différences finies pour les EDP d’évolutionMéthode des différences finies pour les EDP d’évolution ;
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— [AF 502] Algorithmes numériques pour la résolution des grands systèmes.
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Méthodes de décomposition de domaine
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5. Méthode multigrille
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Pour exposer le plus simplement possible le principe de la méthode multigrille, on commence par présenter la méthode 2-Grilles ; cette dernière combine deux méthodes peu performantes pour finalement obtenir une méthode très efficace. On considère une grille fine de pas h et une grille grossière de pas H = 2h, ainsi que la résolution du problème de Poisson monodimensionnel avec conditions aux limites de Dirichlet homogènes.
Un cycle de la méthode 2-Grilles se compose de deux phases :
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une méthode de lissage, correspondant à deux ou trois itérations d’une méthode de relaxation, permettant de réduire les hautes fréquences de l’erreur lorsque l’on décompose celle-ci dans la base des vecteurs propres de la matrice ; soit uh l’approximation de U = Uh solution du système linéaire discret A Uh = Fh ;
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une méthode de correction sur grille grossière qui traite efficacement les basses fréquences de l’erreur dans la mesure où un mode basse fréquence sur la grille fine se transformera à terme en un mode oscillant sur la grille grossière et sera, par conséquent bien lissé par une méthode de relaxation, conformément à ce qui a été indiqué à l’alinéa précédent ; la correction Vh = Uh – uh , qu’il faut ajouter à uh pour obtenir Uh , doit vérifier :
A Vh = rh , rh = Fh – A uh (résidu)
Vh est donc la solution d’un problème du même type que celui qui définit Uh , où le second membre a été remplacé par le résidu rh aux points de la grille fine. Le calcul de Vh est a priori aussi coûteux que celui de Uh . Dans la mesure où l’erreur est lissée, on peut cependant chercher à obtenir une approximation de Vh sur la grille grossière de pas H, ce qui nécessitera beaucoup moins de calculs puisque la grille...
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Méthode multigrille
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARANGER (J.) - Analyse numérique. - Hermann (1991).
-
(2) - MEURANT (G.) - Computer solution of large linear systems. - North Holland (1999).
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(3) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Tomes 1 et 2, Masson (1986).
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(4) - McCORMICK (S.) - Multigrid methods. - SIAM (1987).
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(5) - HACKBUSCH (W.) - Multigrid methods and applications. - Computational Mathematics, Springer-Verlag (1980).
-
(6) - SAAD (Y.) - Iterative methods for sparse linear systems. - PWS Publishing Company (1996).
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(7) - AXELSON...
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