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RÉSUMÉ
Branche des mathématiques cousine de la topologie générale traitant des espaces prétopologiques, à savoir des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier, la prétopologie permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques. Tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie, ses champs d'application sont diverses et variés. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. De très nombreux exemples d’applications y sont détaillés.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - Au Docteur Séverine Rivolier pour son intérêt scientifique.
INTRODUCTION
La prétopologie est une branche des mathématiques cousine de la topologie générale qui traite des espaces prétopologiques, c’est-à-dire des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier. Elle permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques et ses champs applicatifs sont nombreux et variés, tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. Trente-six exemples d’applications détaillés sont exposés.
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Applications « set-defined set-valued »
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1. Préambule
1.1 Éléments historiques
Le livre intitulé Grundzüge der Mengenlehre (1914) de F. Hausdorff considéré comme l’ouvrage fondateur de la topologie générale (General Topology), bien que rédigé en allemand, a profondément marqué les topologistes qui s’en sont servis trop souvent de « bible », malgré le livre d’une plus grande généralité rédigé en français (certes plus dissertatif) de M. Fréchet (mathématicien de premier rang lui aussi), intitulé « Les Espaces abstraits » (1928), inhibant ainsi le développement de la prétopologie (Pretopology) jusqu’au livre en anglais de E. Čech (1966) obtenu par traduction et révision à partir de la version originale en tchèque (1959).
Les fondations de la prétopologie s’entremêlent avec celles de la topologie générale et remontent au début du XXe siècle avec notamment les travaux de F. Riesz (1906-1909) sur la notion d’accumulation et l’axiomatisation des ensembles dérivés (derived sets) et à ceux de M. Fréchet (entre 1906 et 1928) sur les espaces limites (limit spaces), puis surtout sur les espaces abstraits (abstract spaces).
Le livre de A. Appert et Ky-Fan (1951) reste à ce jour le seul ouvrage sur la prétopologie mathématiquement étayé et étoffé, mais il ne couvre que la première moitié du XXe siècle et est en français ! Le mémoire de licence de D. Meeùs (1965), lui aussi en français, est remarquable, mais est demeuré très peu diffusé. L’ouvrage collectif plus récent de Belmandt (1993, 2011) s’adresse à un large lectorat, mais est un ouvrage introductif au contenu plus basique et plus limité.
HAUT DE PAGE1.2 Lectorat et conseil de lecture
Cet article s’adresse à un large lectorat : étudiants de 1er et 2e cycles universitaires, élèves en classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques et élèves-ingénieurs de ces écoles, enseignants, enseignants-chercheurs et chercheurs en mathématiques ou s’intéressant aux mathématiques ou les utilisant, et aussi aux scientifiques...
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Préambule
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AERTS (D.), PULMANNOVÁ (S.) - Representation of state property systems, - Journal of Mathematical Physics, Vol. 47, No. 7, pp. 1-18 (2006).
-
(2) - ALBUQUERQUE (L.) - Sur les ensembles clairsemés, - Portugaliae Mathematica, Vol. 3, No. 2-3, pp. 132-156 (1942a).
-
(3) - ALEXANDROV (P.) - Zur Begründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie, - Mathematische Annalen, Vol. 94, pp. 296-308 (1925) (en Allemand).
-
(4) - ALEXANDROV (P.) - Sur les espaces discrets, - Compte-rendu des séances hebdomadaires de l’Académie des Sciences de Paris, Vol. 200, pp. 1649-1651 (1935).
-
(5) - ALEXANDROV (P.) - Diskrete Räume, - Matematicheskiĭ Sbornik, N.S. 2, Vol. 44, pp. 501-518 (1937) (en russe).
-
(6)...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Géométrie affine et euclidienne.
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