Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est au cœur de la compréhension de nombreux phénomènes physiques. De la simulation aéronautique à l'imagerie, en passant par la prévision météorologique, les EDP sont présentes dans de nombreux domaines appliqués de l'ingénierie et de la physique. Dans ce dossier, seront analysés certaines équations importantes, comme par exemple celles de Navier-Stokes, d'Euler, de Boltzmann, d'Helmholtz, de Kortweg et de De Vries, ou encore des modèles de turbulence.
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Solving partial differential equations (PDEs) is at the heart of the understanding of many physical phenomena. From aeronautic simulation to imagery and including weather forecasting, the PDEs are present in many applied fields of engineering and physics. This report analyses certain major equations such as that of Navier-Stokes, Euler, Boltzmann, Helmholtz, Kortweg and De Vries as well as turbulence models.
Auteur(s)
-
Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie
-
Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
INTRODUCTION
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Conclusion
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6. Équations de l’élasticité
6.1 Contexte
Les solides, comme les fluides, sont des milieux continus. Cette similarité fait que les équations correspondantes ont été dérivées simultanément. Les équations de l’élasticité apparaissent déjà dans Euler (1755) ; ce sont des équations hyperboliques non linéaires qui traduisent les lois de conservation des masse, moment cinétique et énergie. On introduit une fonction u(x, t) ∈ Rd qui représente la position à l’instant t de l’élément de volume (en dimension d d’espace), qui à l’instant t = 0 est au point x. Si l’on suppose que les seules forces agissant sur le milieu dépendent uniquement du déplacement (densité et température constante), les équations de Newton pour ce déplacement se réduisent au système établi par Cauchy et Poisson :
Dans (70), σ(.) est une fonction de Rd à valeur d × d matricielles dite tenseur des contraintes. En coordonnées cartésiennes (70) s’écrit :
6.2 Équations linéarisées et propriétés spécifiques
On suppose que le tenseur des contraintes σ satisfait des hypothèses d’isotropie ; alors, tant que u(x, t) − x reste petit, on peut approximer σ par
Les coefficients λ et µ (constants si le milieu Ω est homogène et de densité ρ = 1)...
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Équations de l’élasticité
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARNOL’D (V.) - Méthodes mathématiques de la mécanique classique - MIR, Moscou (1976).
-
(2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser - InterÉditions-CNRS, Paris (1991).
-
(3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) - The Schrödinger equation - Kluwer, London (1991).
-
(4) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle : théorie et applications - Masson, Paris (1983).
-
(5) - CERCIGNANI (C.) - Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms - Oxford University Press, Oxford (1998).
-
(6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of mathematical physics - Interscience Publishers, New-York (1953).
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