Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est au cœur de la compréhension de nombreux phénomènes physiques. De la simulation aéronautique à l'imagerie, en passant par la prévision météorologique, les EDP sont présentes dans de nombreux domaines appliqués de l'ingénierie et de la physique. Dans ce dossier, seront analysés certaines équations importantes, comme par exemple celles de Navier-Stokes, d'Euler, de Boltzmann, d'Helmholtz, de Kortweg et de De Vries, ou encore des modèles de turbulence.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie
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Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
INTRODUCTION
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6. Équations de l’élasticité
6.1 Contexte
Les solides, comme les fluides, sont des milieux continus. Cette similarité fait que les équations correspondantes ont été dérivées simultanément. Les équations de l’élasticité apparaissent déjà dans Euler (1755) ; ce sont des équations hyperboliques non linéaires qui traduisent les lois de conservation des masse, moment cinétique et énergie. On introduit une fonction u(x, t) ∊ R d qui représente la position à l’instant t de l’élément de volume (en dimension d d’espace), qui à l’instant t = 0 est au point x. Si l’on suppose que les seules forces agissant sur le milieu dépendent uniquement du déplacement (densité et température constante), les équations de Newton pour ce déplacement se réduisent au système établi par Cauchy et Poisson :
Dans (70), σ(.) est une fonction de R d à valeur d × d matricielles dite tenseur des contraintes. En coordonnées cartésiennes (70) s’écrit :
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Équations de l’élasticité
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARNOL’D (V.) - Méthodes mathématiques de la mécanique classique - MIR, Moscou (1976).
-
(2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser - InterÉditions-CNRS, Paris (1991).
-
(3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) - The Schrödinger equation - Kluwer, London (1991).
-
(4) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle : théorie et applications - Masson, Paris (1983).
-
(5) - CERCIGNANI (C.) - Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms - Oxford University Press, Oxford (1998).
-
(6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of mathematical physics - Interscience Publishers, New-York (1953).
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