Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est au cœur de la compréhension de nombreux phénomènes physiques. De la simulation aéronautique à l'imagerie, en passant par la prévision météorologique, les EDP sont présentes dans de nombreux domaines appliqués de l'ingénierie et de la physique. Dans ce dossier, seront analysés certaines équations importantes, comme par exemple celles de Navier-Stokes, d'Euler, de Boltzmann, d'Helmholtz, de Kortweg et de De Vries, ou encore des modèles de turbulence.
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Solving partial differential equations (PDEs) is at the heart of the understanding of many physical phenomena. From aeronautic simulation to imagery and including weather forecasting, the PDEs are present in many applied fields of engineering and physics. This report analyses certain major equations such as that of Navier-Stokes, Euler, Boltzmann, Helmholtz, Kortweg and De Vries as well as turbulence models.
Auteur(s)
-
Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie
-
Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
INTRODUCTION
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Équation de Kortweg et De Vries (KdV) et systèmes intégrables
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4. Dérivation des équations de champ moyen : Vlasov et Schrödinger non linéaire
La dérivation de l’équation de Boltzmann à partir de la mécanique hamiltonienne privilégie les interactions à deux corps entre molécules.
Une situation mathématiquement différente, mais importante pour les problèmes d’électromagnétisme et de plasma, est celle où chaque particule est soumise à la « moyenne des actions des autres ». Cela correspond, dans le cas de la mécanique classique, au système hamiltonien, pour les variables habituelles XN = (x1, x2... xN), VN = (v1, v2... vN),
et, dans le cas de la mécanique quantique, au système :
( 55 )
( 56 )
Les asymptotiques N → ∞ sont décrites, dans le cas classique, par l’équation (cinétique) de Vlasov :
( 57 )
et, dans le cas quantique, par l’équation de Schrödinger Φ-non linéaire :
( 58 )
Toute les équations ci-dessus sont réversibles en temps. Aucune perte de réversibilité n’apparaît dans le passage à la limite, contrairement à ce qui se passe dans la dérivation de l’équation de Boltzmann. Néanmoins, sur...
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Dérivation des équations de champ moyen : Vlasov et Schrödinger non linéaire
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARNOL’D (V.) - Méthodes mathématiques de la mécanique classique - MIR, Moscou (1976).
-
(2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser - InterÉditions-CNRS, Paris (1991).
-
(3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) - The Schrödinger equation - Kluwer, London (1991).
-
(4) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle : théorie et applications - Masson, Paris (1983).
-
(5) - CERCIGNANI (C.) - Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms - Oxford University Press, Oxford (1998).
-
(6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of mathematical physics - Interscience Publishers, New-York (1953).
-
...
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