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RÉSUMÉ
Les méthodes d’optimisation permettent d’obtenir l’optimum d’une opération industrielle ou de laboratoire. Parmi les différentes stratégies, les méthodes directes d’optimisation n’ont pas recours à un modèle mathématique mais procèdent par essais expérimentaux itératifs pour déterminer les conditions opératoires permettant d’approcher l’optimum de fonctionnement. Il s’agit des méthodes dichotomique séquentielle, du nombre d’or et Fibonacci, dans le cas où une seule variable est étudiée et de la méthode Simplex dans le cas où plusieurs variables sont considérées.
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Catherine PORTE : Docteur ès sciences physiques - Professeur des universités émérite EA7341 – Laboratoire de chimie moléculaire et génie des procédés chimiques et énergétiques au Conservatoire national des arts et métiers, Paris, France
INTRODUCTION
L’optimisation est un ensemble de techniques permettant de trouver les valeurs des facteurs qui rendent optimale une fonction de réponse, appelée aussi fonction objectif. Sur le plan mathématique, cela correspond à la recherche des extremums de fonctions à plusieurs variables. Dans le domaine des sciences appliquées, il s’agit de trouver les conditions expérimentales permettant d’obtenir une valeur optimale de la réponse d’opérations industrielles ou d’expériences de laboratoire.
Plusieurs stratégies d’optimisation peuvent être appliquées : méthodes dites indirectes impliquant des modèles qu’ils soient de connaissance ou empiriques (plans d’expériences) et méthodes directes. Dans cet article sont uniquement décrites les méthodes directes, qui ne nécessitent pas le recours à un modèle mathématique et surtout facilement applicables dans les sciences appliquées.
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- Version archivée 1 de déc. 2002 par Catherine PORTE
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Méthodes directes à une variable
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1. Fonction réponse, variables et stratégies
L’objectif de l’optimisation est représenté sur les figures 1 a et b ; sur la figure 1 a , la réponse y est fonction d’une seule variable, x, et l’on recherche à s’approcher de la valeur, x max , comprise entre les bornes x A et x B , qui rend optimale la valeur de la réponse y.
Sur la figure 1 b , la fonction objectif dépend de deux variables x 1 et x 2 ; elle est représentée sous la forme de courbes de niveaux ou courbes d’isoréponses. On recherche alors à s’approcher des coordonnées, x 1max et x 2max , qui correspondent à la valeur optimale de y.
Une fonction objectif peut être :
-
le rendement d’une opération (maximum) ;
-
la pureté d’un produit (maximum) ;
-
la concentration en un produit (maximum ou minimum suivant qu’il s’agit du produit attendu ou d’une impureté indésirable) ;
-
le coût d’une opération (minimum) ;
-
la consommation énergétique d’une opération (minimum) ;
-
l’efficacité d’une séparation (maximum), en chromatographie par exemple ;
-
les caractéristiques physiques d’un produit (maximum, minimum ou valeur nominale), etc.
La fonction objectif peut aussi être la somme, pondérée ou non, de plusieurs réponses. Ce sera le résultat observé, ou mesuré, de l’opération effectuée, que ce soit une analyse, une synthèse chimique, une extraction, une formulation, etc.
Dans tous les cas, la valeur de la réponse est subie par l’expérimentateur.
La fonction objectif dépend d’un certain nombre de facteurs. On peut définir trois types de facteurs :
-
les facteurs aléatoires ;
-
les facteurs qui seront maintenus à un niveau donné tout au long des expérimentations ;
-
les facteurs dont on désire faire varier la valeur au cours des différentes expérimentations ; ils sont nommés variables.
Les facteurs, qu’ils...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - WILDE (D.J.), BEIGHTLER (C.S.) - Foundations of optimization. - Prentice-Hall (1967).
-
(2) - FLETCHER (R.) - Practical methods of optimization. - Unconstrained optimization, John Wiley and Sons Ltd, vol. 1 (1980).
-
(3) - RAY (W.H.), SZEKELY (J.) - Process optimization. - John Wiley and Sons, Inc (1973).
-
(4) - RUDD (D.F.), WATSON (C.C.) - Strategy of process engineering. - John Wiley and Sons (1968).
-
(5) - BOX (M.J.), DAVIES (D.), SWANN (W.H.) - Techniques d’optimisation non linéaire. - Monographie ICI, Entreprise Moderne d’Édition, n° 5 (1971).
-
(6) - KUESTER (J.L.), MIZE (J.H.) - Optimizations techniques with FORTRAN. - McGraw Hill (1971).
-
...
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