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RÉSUMÉ
Les méthodes d’optimisation permettent d’obtenir l’optimum d’une opération industrielle ou de laboratoire. Parmi les différentes stratégies, les méthodes directes d’optimisation n’ont pas recours à un modèle mathématique mais procèdent par essais expérimentaux itératifs pour déterminer les conditions opératoires permettant d’approcher l’optimum de fonctionnement. Il s’agit des méthodes dichotomique séquentielle, du nombre d’or et Fibonacci, dans le cas où une seule variable est étudiée et de la méthode Simplex dans le cas où plusieurs variables sont considérées.
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Catherine PORTE : Docteur ès sciences physiques - Professeur des universités émérite EA7341 – Laboratoire de chimie moléculaire et génie des procédés chimiques et énergétiques au Conservatoire national des arts et métiers, Paris, France
INTRODUCTION
L’optimisation est un ensemble de techniques permettant de trouver les valeurs des facteurs qui rendent optimale une fonction de réponse, appelée aussi fonction objectif. Sur le plan mathématique, cela correspond à la recherche des extremums de fonctions à plusieurs variables. Dans le domaine des sciences appliquées, il s’agit de trouver les conditions expérimentales permettant d’obtenir une valeur optimale de la réponse d’opérations industrielles ou d’expériences de laboratoire.
Plusieurs stratégies d’optimisation peuvent être appliquées : méthodes dites indirectes impliquant des modèles qu’ils soient de connaissance ou empiriques (plans d’expériences) et méthodes directes. Dans cet article sont uniquement décrites les méthodes directes, qui ne nécessitent pas le recours à un modèle mathématique et surtout facilement applicables dans les sciences appliquées.
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- Version archivée 1 de déc. 2002 par Catherine PORTE
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Méthode directe à variables multiples : méthode simplex
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2. Méthodes directes à une variable
Pour que ces méthodes puissent être employées avec efficacité, il est nécessaire que, dans l’intervalle étudié, la fonction de réponse soit unimodale, c’est-à-dire qu’elle présente un seul optimum. Cela est pratiquement toujours le cas dans la mesure où l’expérimentateur, compte tenu de sa maîtrise du phénomène, se place dans une zone en général restreinte.
2.1 Méthode dichotomique séquentielle
C’est la méthode intuitive la plus simple. Pour la recherche d’un maximum, elle procède par exemple, de la façon suivante (figure 2) c.
Dans l’intervalle de recherche [x A ; x B ], deux mesures sont effectuées aux points d’abscisses x 1 et x 2 situés de part et d’autre du milieu de l’intervalle ; le choix de l’écart entre ces deux points est crucial car ils doivent être suffisamment éloignés l’un de l’autre pour que les réponses en ces points soient significativement différentes. On constate, figure 2, que la réponse au point d’abscisse x 1 est inférieure à la réponse au point d’abscisse x 2 (y 1 < y 2). On élimine alors la zone [x A ; x 1] soit approximativement la moitié de l’intervalle d’étude.
On effectue ensuite à nouveau deux mesures de part et d’autre du centre de l’intervalle restant, [x 1 ; x B ], c’est-à-dire aux points d’abscisses x 3 et x 4 . Ici, la réponse au point d’abscisse x 3 étant...
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Méthodes directes à une variable
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - WILDE (D.J.), BEIGHTLER (C.S.) - Foundations of optimization. - Prentice-Hall (1967).
-
(2) - FLETCHER (R.) - Practical methods of optimization. - Unconstrained optimization, John Wiley and Sons Ltd, vol. 1 (1980).
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(3) - RAY (W.H.), SZEKELY (J.) - Process optimization. - John Wiley and Sons, Inc (1973).
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(4) - RUDD (D.F.), WATSON (C.C.) - Strategy of process engineering. - John Wiley and Sons (1968).
-
(5) - BOX (M.J.), DAVIES (D.), SWANN (W.H.) - Techniques d’optimisation non linéaire. - Monographie ICI, Entreprise Moderne d’Édition, n° 5 (1971).
-
(6) - KUESTER (J.L.), MIZE (J.H.) - Optimizations techniques with FORTRAN. - McGraw Hill (1971).
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