Fonctions aléatoires

Contrairement aux fonctions analytiques usuelles que l’on peut déterminer avec rigueur, la valeur numérique d’une fonction aléatoire demeure totalement ou partiellement imprévisible.

L’exemple le plus familier de fonctions aléatoires est sans doute donné par la capture de certains signaux dépendant de la variable temps. Dans ce cas particulier, si la variable temps peut être fixée très précisément par un échantillonnage périodique, l’amplitude du signal restera auréolée d’une incertitude constituant une variable aléatoire discrète ou continue.

Nous verrons dans le déroulement de l’article que la seule description rationnelle des fonctions aléatoires ne peut être empruntée qu’à la notion de covariance, elle même dérivée du coefficient de corrélation défini dans l’article [R 210v2]. De plus, il sera montré que sous le respect de la condition de stationnarité des fonctions aléatoires, la covariance devient fonction d’autocorrélation. Cette dernière est directement transposable sous des signatures analytiques, ou indirectement sous la forme de données numériques déduites d’une estimation arithmétique. Quelle que soit la démarche adoptée, l’examen de la signature d’autocorrélation révèlera les principales propriétés de dépendance stochastique de la fonction aléatoire génératrice.

La question de la fonction d’autocorrélation est donc étroitement reliée aux propriétés générales des variables stationnaires discutées dans le premier paragraphe. La stationnarité sera illustrée par la désintégration spontanée des noyaux atomiques et la génération du signal bruit électronique.

Ces deux phénomènes, bien connus des physiciens, s’approprient successivement la loi de probabilité de Poisson et la loi de probabilité normale, toutes deux dotées de paramètres stationnaires.

Le second paragraphe sera entièrement consacré à d’autres propriétés entrant dans le calcul des fonctions d’autocorrélation. Il s’agit principalement du principe ergodique intervenant lors du calcul des moments d’ordre n. En effet, suivant que l’on procède au calcul direct du moment, par la recherche de l’espérance mathématique d’une variable ou que l’on détermine le moment par la moyenne arithmétique d’un grand nombre de variables, on observe fréquemment la convergence mutuelle des deux résultats. Le principe ergodique sera présentement illustré par deux exemples empruntés à la physique de la matière et aux analyses de mesures.

Dans la continuité des précédents, le troisième paragraphe, spécialement dédié aux fonctions d’autocorrélation, aborde le sujet par l’étude de signaux assimilés à des fonctions aléatoires. À l’aide d’exemples, il sera montré que les fonctions d’autocorrélation peuvent revêtir diverses signatures porteuses d’informations pertinentes, révélatrices de leur dépendance stochastique avec la variable temps. Dans la poursuite du paragraphe, le concept sera étendu aux fonctions d’intercorrélation reliant deux fonctions quelconques.

Le quatrième paragraphe traite la difficile question de la détermination des spectres de fréquences des signaux aléatoires. Les fonctions aléatoires n’étant pas implicitement bornées, le calcul direct du spectre par application de l’intégrale de Fourier s’avère inapproprié. On parvient néanmoins, grâce au théorème de Wiener Kintchine, à leur attribuer un autospectre provenant de l’intégrale de Fourier de la fonction d’autocorrélation. Pour unifier le raisonnement ainsi que les unités physiques, une discussion sera entamée à propos de la confrontation de l’autospectre avec les fonctions densités spectrales de puissances (DSP) généralement dédiées aux signaux périodiques ou aux signaux non bornés.

Sachant que certains résultats de mesures pratiquées sur des signaux aléatoires livrent directement la DSP, il sera montré que l’intégrale de Fourier inverse appliquée sur cette signature spectrale permet de retrouver la fonction d’autocorrélation. Le procédé sera ensuite étendu aux fonctions d’intercorrélations, desquelles dérivent des interspectres.

Pour conclure l’article, le cinquième paragraphe s’adresse aux processus de Markov. La description analytique du problème sera constituée de trois parties où seront successivement abordées les questions de dépendance stochastique des variables aléatoires, les calculs matriciels de chaînes mettant en œuvre des variables discrètes, puis l’extension de ces concepts aux cas des variables continues.