Méthodes d’éléments finis stochastiques en dynamique

Dans le cadre de l’étude de systèmes mécaniques par la méthode des éléments finis, une des principales hypothèses est que le modèle est déterministe. Comme les performances des machines de calcul augmentent considérablement avec le temps, la prise en compte de phénomènes complexes jusque-là négligés ou simplifiés devient envisageable. En particulier, il devient possible de travailler sur des problèmes dont les données sont incertaines, ce qui permet de prendre en compte les incertitudes intrinsèques aux propriétés des matériaux et des structures. Le besoin de prendre en compte ces incertitudes conduit au développement des méthodes des éléments finis stochastiques (MEFS) et des couplages mécano-fiabilistes. Deux grandes familles de méthodes numériques existent actuellement :

• les méthodes des deux premiers moments permettant une analyse de sensibilité de la réponse d’une structure dont les paramètres sont incertains en alliant la méthode des éléments finis et la théorie des probabilités ;

• les couplages mécano-fiabilistes permettant une analyse de fiabilité d’une structure complexe en alliant la méthode des éléments finis et les méthodes de fiabilité.

Indépendamment de la méthode d’analyse utilisée, les incertitudes existant sur les propriétés mécaniques des matériaux, sur les caractéristiques géométriques de la structure et sur le chargement appliqué, varient en fonction de leur position spatiale. Ces incertitudes sont alors modélisées par des champs aléatoires. Cependant, l’analyse de fiabilité et de sensibilité impose une discrétisation des champs aléatoires.

La première section de cet article rappelle les principes de la discrétisation des champs aléatoires en modèle des éléments finis, de même que les méthodes de calcul utilisées. Les méthodes des éléments finis stochastiques spectrales sont présentées dans la deuxième section en insistant sur la méthode de perturbation de Muscolino et celle de synthèse modale spectrale en les illustrant sur un exemple mécanique simple. La troisième section traite un système industriel d’engrenage en comparant les différentes méthodes présentées, et en discutant l’intérêt et les limites de la MEFS pour les analyses de sensibilité et de fiabilité en conception mécanique.