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RÉSUMÉ
Dans le cadre de l'étude de systèmes dynamiques par la méthode des éléments finis, une des principales hypothèses est que le modèle est déterministe. Comme les performances des machines de calcul augmentent considérablement avec le temps, la prise en compte de phénomènes complexes jusque-là négligés devient envisageable. Cet article traite ces systèmes par la méthode des éléments finis stochastiques. Il présente la base de l’approximation et la discrétisation aléatoire. Ensuite, la méthode spectrale est décrite en présentant les différentes approches: perturbation et synthèse modale stochastique. Enfin, il illustre les différentes approches en analysant un système d’engrenage industriel.
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In the study of dynamic systems using the finite element method, one key assumption is that the model is deterministic. As the performance of computing machines significantly increases over time, hitherto neglected complex phenomena can now be addressed. This article looks at these systems by the stochastic finite element method. It presents the basis of random approximation. It then describes the spectral method, presenting the various approaches: disturbance and stochastic modal synthesis. Lastly, it illustrates the various approaches by analyzing an industrial gearing system.
Auteur(s)
-
Abdelkhalak EL HAMI : Professeur des Universités - Laboratoire de Mécanique de Normandie (LMN) INSA, Rouen-Normandie, France
-
Bouchaïb RADI : Professeur des Universités - LIMII, FST, Settat, Maroc
INTRODUCTION
Dans le cadre de l’étude de systèmes mécaniques par la méthode des éléments finis, une des principales hypothèses est que le modèle est déterministe. Comme les performances des machines de calcul augmentent considérablement avec le temps, la prise en compte de phénomènes complexes jusque-là négligés ou simplifiés devient envisageable. En particulier, il devient possible de travailler sur des problèmes dont les données sont incertaines, ce qui permet de prendre en compte les incertitudes intrinsèques aux propriétés des matériaux et des structures. Le besoin de prendre en compte ces incertitudes conduit au développement des méthodes des éléments finis stochastiques (MEFS) et des couplages mécano-fiabilistes. Deux grandes familles de méthodes numériques existent actuellement :
-
les méthodes des deux premiers moments permettant une analyse de sensibilité de la réponse d’une structure dont les paramètres sont incertains en alliant la méthode des éléments finis et la théorie des probabilités ;
-
les couplages mécano-fiabilistes permettant une analyse de fiabilité d’une structure complexe en alliant la méthode des éléments finis et les méthodes de fiabilité.
Indépendamment de la méthode d’analyse utilisée, les incertitudes existant sur les propriétés mécaniques des matériaux, sur les caractéristiques géométriques de la structure et sur le chargement appliqué, varient en fonction de leur position spatiale. Ces incertitudes sont alors modélisées par des champs aléatoires. Cependant, l’analyse de fiabilité et de sensibilité impose une discrétisation des champs aléatoires.
La première section de cet article rappelle les principes de la discrétisation des champs aléatoires en modèle des éléments finis, de même que les méthodes de calcul utilisées. Les méthodes des éléments finis stochastiques spectrales sont présentées dans la deuxième section en insistant sur la méthode de perturbation de Muscolino et celle de synthèse modale spectrale en les illustrant sur un exemple mécanique simple. La troisième section traite un système industriel d’engrenage en comparant les différentes méthodes présentées, et en discutant l’intérêt et les limites de la MEFS pour les analyses de sensibilité et de fiabilité en conception mécanique.
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MOTS-CLÉS
KEYWORDS
finite elements | uncertainty | random | stochastic | dynamic
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Application à un système d’engrenage dans une éolienne avec des incertitudes
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2. Méthode des éléments finis stochastiques spectrale
En ce qui concerne la méthode des éléments finis stochastiques dans le cadre statique, le lecteur pourra consulter [BM 5028].
Dans cette section, nous cherchons les fréquences et modes propres d’un système dynamique conservatif, où les matrices de masse et de rigidité sont fonction de paramètres aléatoires. On utilise deux méthodes de perturbation. La première est celle du développement en série de Taylor du second ordre. Le seconde est celle énoncée par Muscolino . Nous proposons dans la suite une formulation stochastique adaptée aux méthodes de synthèse modale.
Notre objectif est de présenter quelques avantages des méthodes de synthèse modale afin de prévoir le comportement dynamique des structures stochastiques. Nous comparons la solution classique du problème stochastique à celle utilisant les méthodes de sous-structuration. On se limite dans un premier temps à la méthode de Craig et Bampton pour analyser des systèmes simples. Dans ces systèmes, nous allons comparer les résultats obtenus en utilisant des bases aléatoires pour la réduction des sous-structures, à ceux obtenus utilisant des bases déterministes. Nous appliquons les différentes méthodes de synthèse modale pour analyser des structures complexes.
2.1 Expansion...
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Méthode des éléments finis stochastiques spectrale
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - FLORES MACIAS (O.) - Modèle fiabilistes et mécaniques : éléments finis stochastiques. Méthode de coulage et applications. - Thèse de doctorat, Université Blaise Pascal Clermont-Ferrand II (1994).
-
(2) - YAMAZAKI (F.), SHINOZUKA (M.), DASGUPTA (G.) - Neumann expansion for stochastic finite element analysis. - Engineering Mechanics, vol. 114, pp. 1335-1354 (1988).
-
(3) - VANMARCKE (E.), GRIGORIU (M.) - Stochastic finite element analysis for simple beam. - Engineering Mechanics, vol. 109, (1983).
-
(4) - KLEIBER (M.), HIEN (T.D.) - The Stochastic Finite Element Method, - Wiley, Londres (1992).
-
(5) - DER KIUREGHIAN (A.), DE STEFANO (M.) - Efficient algorithm for second order reliability analysis. - The Engineering Mechanics Division, vol. 117(12), (1991).
-
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La prochaine conférence, ICASP13, se tiendra à Seoul (Corée) en 2019.
La 10e Conférence internationale sur les méthodes mathématiques de fiabilité (MMR 2017) se tiendra en France cette année, elle est organisée par l’Institut de Technologie de Grenoble et l’Université Grenoble-Alpes.
La 12e International Conference on Structural Safety & Reliability a eu lieu en août 2017 à Vienne (Autriche).
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