Formulation du problème
Trajectoires spatiales - Injection en orbite à niveau de poussée optimal

Le problème de trouver le niveau de poussée optimal d'un moteur-fusée est étudié intensivement depuis les travaux précurseurs de Goddard au début du XX^e siècle. La formulation classique suppose que le niveau de poussée varie librement entre zéro et une valeur maximale donnée. La solution optimale est alors composée d’arcs à poussée maximale et d’arcs balistiques.

Cet article présente une hypothèse alternative qui consiste en un profil de poussée paramétrique, soit linéaire, soit à deux paliers. Cette modélisation est représentative du fonctionnement de la plupart des moteurs. L'objectif est d'optimiser simultanément le profil de poussée et la trajectoire du dernier étage pour atteindre l’orbite visée en minimisant la consommation d’ergols. Les conditions initiales sont données et résultent du vol des étages inférieurs. L'orbite visée est une ellipse d’apogée et de périgée donnés. On suppose que la trajectoire du dernier étage est plane, ce qui est le cas dans la majorité des applications pratiques.

Ce problème de contrôle optimal hybride incluant le profil de poussée est d’une grande importance pratique lors de la conception de nouveaux moteurs. L’étude des conditions d’optimalité montre que ce problème admet une solution analytique en retour d’état, la direction optimale de poussée s’exprimant en fonction des conditions cinématiques courantes (position, vitesse). Cette étude montre également que le point d’injection optimal est le périgée de l’orbite visée et que l’orbite sera atteinte par une phase descendante. Ce résultat théorique explique la forme a priori surprenante de nombreuses trajectoires de lancement, d’abord montantes, puis descendantes. Il s’avère que cette forme est en fait associée à un choix du niveau de poussée proche de l’optimum. Ces propriétés permettent de réduire le problème de contrôle optimal à un problème non linéaire à deux variables, dont la résolution numérique est simple.

L’étude théorique fournit également une expression analytique du vecteur adjoint en fonction des conditions de position et vitesse. L’initialisation du vecteur adjoint est un point dur pour les problèmes de trajectoires spatiales optimales. Il s’avère que cette initialisation analytique, obtenue lorsque le niveau de poussée est optimisé, est efficace pour résoudre différents problèmes, en particulier lorsque le niveau de poussée du moteur est fixé.

Cet article présente la formulation du problème de contrôle optimal et l’étude théorique des conditions d’optimalité. Les différentes propriétés de la trajectoire optimale sont établies, puis mises à profit pour résoudre des cas d’applications pratiques.