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RÉSUMÉ
Le choix du niveau de poussée des moteurs est un point-clé de la conception d’un lanceur spatial. En considérant un profil de poussée paramétrique, soit linéaire, soit à deux paliers, on formule un problème de contrôle optimal hybride portant à la fois sur la trajectoire du lanceur et les paramètres de poussée. Ce problème admet une solution analytique sous forme d’une loi de commande en retour d’état. La résolution montre également que l’injection a lieu au périgée de l’orbite visée, atteint par une phase descendante. Ce résultat explique la forme de nombreuses trajectoires de lancement. La solution fournit par ailleurs une expression ana lytique du vecteur adjoint permettant d’initialiser la résolution d’autres problèmes de trajectoires spatiales.
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Max CERF : Ingénieur en analyse de mission - ArianeGroup, Les Mureaux, France
INTRODUCTION
Le problème de trouver le niveau de poussée optimal d'un moteur-fusée est étudié intensivement depuis les travaux précurseurs de Goddard au début du XXe siècle. La formulation classique suppose que le niveau de poussée varie librement entre zéro et une valeur maximale donnée. La solution optimale est alors composée d’arcs à poussée maximale et d’arcs balistiques.
Cet article présente une hypothèse alternative qui consiste en un profil de poussée paramétrique, soit linéaire, soit à deux paliers. Cette modélisation est représentative du fonctionnement de la plupart des moteurs. L'objectif est d'optimiser simultanément le profil de poussée et la trajectoire du dernier étage pour atteindre l’orbite visée en minimisant la consommation d’ergols. Les conditions initiales sont données et résultent du vol des étages inférieurs. L'orbite visée est une ellipse d’apogée et de périgée donnés. On suppose que la trajectoire du dernier étage est plane, ce qui est le cas dans la majorité des applications pratiques.
Ce problème de contrôle optimal hybride incluant le profil de poussée est d’une grande importance pratique lors de la conception de nouveaux moteurs. L’étude des conditions d’optimalité montre que ce problème admet une solution analytique en retour d’état, la direction optimale de poussée s’exprimant en fonction des conditions cinématiques courantes (position, vitesse). Cette étude montre également que le point d’injection optimal est le périgée de l’orbite visée et que l’orbite sera atteinte par une phase descendante. Ce résultat théorique explique la forme a priori surprenante de nombreuses trajectoires de lancement, d’abord montantes, puis descendantes. Il s’avère que cette forme est en fait associée à un choix du niveau de poussée proche de l’optimum. Ces propriétés permettent de réduire le problème de contrôle optimal à un problème non linéaire à deux variables, dont la résolution numérique est simple.
L’étude théorique fournit également une expression analytique du vecteur adjoint en fonction des conditions de position et vitesse. L’initialisation du vecteur adjoint est un point dur pour les problèmes de trajectoires spatiales optimales. Il s’avère que cette initialisation analytique, obtenue lorsque le niveau de poussée est optimisé, est efficace pour résoudre différents problèmes, en particulier lorsque le niveau de poussée du moteur est fixé.
Cet article présente la formulation du problème de contrôle optimal et l’étude théorique des conditions d’optimalité. Les différentes propriétés de la trajectoire optimale sont établies, puis mises à profit pour résoudre des cas d’applications pratiques.
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Formulation du problème
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4. Conclusion
Cet article a présenté la résolution d’un problème de contrôle optimal hybride portant simultanément sur la trajectoire et le profil de poussée d’un étage supérieur de lanceur. La trajectoire supposée plane se déroule hors atmosphère. L’objectif est d’atteindre une orbite elliptique donnée en consommant le moins d’ergols possible avec un profil de poussée linéaire ou à deux paliers. Ces formes de profils correspondent au fonctionnement de la majorité des propulseurs avec une poussée pouvant varier entre 50 % et 100 % d’un niveau maximal selon la technologie employée.
Contrairement au problème classique qui suppose que le niveau de poussée varie librement entre des bornes, ce problème hybride admet une solution analytique sous forme d’une commande en retour d’état. On établit également que le point d’injection optimal est le périgée de l’orbite visée, atteint par un arc descendant. Ces propriétés permettent de réduire le problème à un système de deux équations à deux inconnues.
Par ailleurs, on établit une expression analytique de l’adjoint en fonction des conditions cinématiques courantes. Cet adjoint analytique s’avère approprié pour initialiser la résolution numérique de divers problèmes de trajectoires optimales dont les suivants :
-
transfert à consommation minimale avec un niveau de poussée fixé ;
-
transfert non coplanaire en ajoutant une composante hors plan à l’adjoint ;
-
transfert en temps minimal à poussée faible comportant de nombreuses révolutions ;
-
optimisation multidisciplinaire de lanceur incluant l’étagement et la propulsion.
– Avec un profil de poussée optimisé de forme linéaire ou à deux paliers :
• le point d’injection optimal est le périgée de l’orbite visée atteint par une phase descendante ;
• la direction de poussée optimale s’exprime en retour d’état ;
• le vecteur adjoint admet une expression analytique permettant d’initialiser la résolution d’autres problèmes.
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BATTIN (R.) - An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. - AIAA (1999).
-
(2) - BRYSON (A.E.), HO (Y.-C.) - Applied Optimal Control. - Hemisphere Publishing Corporation (1975).
-
(3) - CERF (M.) - Optimal Thrust Level for Orbit Insertion. - Acta Astronautica, vol. 136, p. 55, DOI : 10.1016/j.actaastro.2017.02.024 (2017).
-
(4) - HULL (D.G.) - Optimal control theory for applications. - Springer (2003).
-
(5) - LAWDEN (D.F.) - Optimal Trajectories for Space Navigation. - Butterworths (1963).
-
(6) - TEWARI (A.) - Advanced Control of Aircrafts, Spacecrafts and rockets. - Wiley (2011).
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