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RÉSUMÉ
Le choix du niveau de poussée des moteurs est un point-clé de la conception d’un lanceur spatial. En considérant un profil de poussée paramétrique, soit linéaire, soit à deux paliers, on formule un problème de contrôle optimal hybride portant à la fois sur la trajectoire du lanceur et les paramètres de poussée. Ce problème admet une solution analytique sous forme d’une loi de commande en retour d’état. La résolution montre également que l’injection a lieu au périgée de l’orbite visée, atteint par une phase descendante. Ce résultat explique la forme de nombreuses trajectoires de lancement. La solution fournit par ailleurs une expression ana lytique du vecteur adjoint permettant d’initialiser la résolution d’autres problèmes de trajectoires spatiales.
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The choice of the engine thrust levels is a key point for designing a launcher. By considering a parametric thrust profile, either linear, or bi-level, a hybrid optimal control problem is formulated dealing simultaneously with the launcher trajectory and the thrust parameters. This problem admits an analytical solution expressed as a feedback command law. The solution shows also that the injection occurs at the perigee of the targeted orbit, reached by a downwards leg. This explains the shape of many launch trajectories. The solution provides on the other hand an analytical expression of the costate vector, which can be used as initial guess to solve various trajectory problems.
Auteur(s)
-
Max CERF : Ingénieur en analyse de mission - ArianeGroup, Les Mureaux, France
INTRODUCTION
Le problème de trouver le niveau de poussée optimal d'un moteur-fusée est étudié intensivement depuis les travaux précurseurs de Goddard au début du XXe siècle. La formulation classique suppose que le niveau de poussée varie librement entre zéro et une valeur maximale donnée. La solution optimale est alors composée d’arcs à poussée maximale et d’arcs balistiques.
Cet article présente une hypothèse alternative qui consiste en un profil de poussée paramétrique, soit linéaire, soit à deux paliers. Cette modélisation est représentative du fonctionnement de la plupart des moteurs. L'objectif est d'optimiser simultanément le profil de poussée et la trajectoire du dernier étage pour atteindre l’orbite visée en minimisant la consommation d’ergols. Les conditions initiales sont données et résultent du vol des étages inférieurs. L'orbite visée est une ellipse d’apogée et de périgée donnés. On suppose que la trajectoire du dernier étage est plane, ce qui est le cas dans la majorité des applications pratiques.
Ce problème de contrôle optimal hybride incluant le profil de poussée est d’une grande importance pratique lors de la conception de nouveaux moteurs. L’étude des conditions d’optimalité montre que ce problème admet une solution analytique en retour d’état, la direction optimale de poussée s’exprimant en fonction des conditions cinématiques courantes (position, vitesse). Cette étude montre également que le point d’injection optimal est le périgée de l’orbite visée et que l’orbite sera atteinte par une phase descendante. Ce résultat théorique explique la forme a priori surprenante de nombreuses trajectoires de lancement, d’abord montantes, puis descendantes. Il s’avère que cette forme est en fait associée à un choix du niveau de poussée proche de l’optimum. Ces propriétés permettent de réduire le problème de contrôle optimal à un problème non linéaire à deux variables, dont la résolution numérique est simple.
L’étude théorique fournit également une expression analytique du vecteur adjoint en fonction des conditions de position et vitesse. L’initialisation du vecteur adjoint est un point dur pour les problèmes de trajectoires spatiales optimales. Il s’avère que cette initialisation analytique, obtenue lorsque le niveau de poussée est optimisé, est efficace pour résoudre différents problèmes, en particulier lorsque le niveau de poussée du moteur est fixé.
Cet article présente la formulation du problème de contrôle optimal et l’étude théorique des conditions d’optimalité. Les différentes propriétés de la trajectoire optimale sont établies, puis mises à profit pour résoudre des cas d’applications pratiques.
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MOTS-CLÉS
KEYWORDS
spacecraft propulsion | orbit | launcher | optimal control
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2. Solution analytique
Cette section établit une formule en retour d’état pour la direction optimale de poussée et montre que le point d’injection optimal est une apside de l’orbite visée. Ces propriétés permettent de réduire le problème de contrôle optimal à un problème non linéaire.
2.1 Direction de poussée
La figure 1 montre les vecteurs et angles utilisés pour les calculs. La trajectoire se déroule dans un plan (Oxy), avec l’origine O au centre de la Terre et des axes Ox et Oy inertiels arbitraires. φ est la longitude (ou angle polaire) à partir de Ox. θ et γ sont respectivement l'assiette locale du lanceur et la pente locale de la vitesse. Par convention les angles θ et γ mesurés à partir de l'horizontale locale sont positifs vers le haut. ω est la vitesse angulaire de rotation de la direction de poussée
dans le repère inertiel (Oxy).
est le vecteur normal à
dans le sens direct.
Propriété 2. La direction de poussée sur la trajectoire optimale vérifie l’équation suivante :
( 29 )
où vc est la vitesse orbitale circulaire au rayon r.
Démonstration
Les équations adjointes (9) donnent une équation différentielle d’ordre 2 pour
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BATTIN (R.) - An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. - AIAA (1999).
-
(2) - BRYSON (A.E.), HO (Y.-C.) - Applied Optimal Control. - Hemisphere Publishing Corporation (1975).
-
(3) - CERF (M.) - Optimal Thrust Level for Orbit Insertion. - Acta Astronautica, vol. 136, p. 55, DOI : 10.1016/j.actaastro.2017.02.024 (2017).
-
(4) - HULL (D.G.) - Optimal control theory for applications. - Springer (2003).
-
(5) - LAWDEN (D.F.) - Optimal Trajectories for Space Navigation. - Butterworths (1963).
-
(6) - TEWARI (A.) - Advanced Control of Aircrafts, Spacecrafts and rockets. - Wiley (2011).
-
...
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