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Auteur(s)
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Jacques POIRIER : Ingénieur de l’École Centrale de Paris – Docteur-Ingénieur - Chargé de mission auprès des Secrétaires Perpétuels de l’Académie des Sciences - Conseiller du Directeur des Réacteurs Nucléaires du Commissariat à l’Énergie Atomique - Chargé de cours au Conservatoire National des Arts et Métiers
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Cet article fait suite aux articles Processus aléatoires Processus aléatoires et Fonctions aléatoires Fonctions aléatoires, auxquels le lecteur peut se reporter pour les définitions fondamentales.
Les exemples qui illustrent le présent article nécessitent la consultation de tables et d’abaques que le lecteur trouvera dans l’article Tables statistiques Tables statistiques.
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Remarques sur le contrôle par prélèvement
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7. Loi des grands nombres
En considérant à nouveau la figure 6, on constate que la pseudo‐courbe de distribution de la loi de Bernoulli ressemble à la courbe de distribution de la loi de Gauss, à ceci près que la loi de Bernoulli est une loi discontinue et que la loi de Gauss est une loi continue. Les numériciens établissent que l’approximation est suffisamment précise si la quantité np (1 – p ) est supérieure à 25. Là encore, cette limite n’est pas magique et doit être appréciée en fonction de la précision nécessaire à la prise de décision.
Le processus d’approximation consiste à identifier les paramètres des deux lois, espérance mathématique et écart‐type.
D’où :
La quantité
est une variable normale réduite, après avoir tenu compte de la correction de continuité précisée dans l’exemple suivant.
Un journal a publié le fait suivant : un quart des trois millions de réservoirs souterrains de gaz ou de fioul d’une grande agglomération seraient fuitards. Les autorités décident d’inspecter 50 réservoirs sélectionnés au hasard.
La probabilité de trouver 10 réservoirs fuitards peut être calculée à l’aide d’une loi de Gauss au terme d’approximations successives de la loi hypergéométrique par une loi de Bernoulli, puis par une loi de Gauss. En effet, ici p = 0,25, n = 50 donc np (1 – p ) = 9,38. Cette loi de Gauss admettra une espérance mathématique égale à :
et un écart-type égal à :
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