Lorsqu’un matériau est soumis à des niveaux de contraintes élevés, la proportionnalité entre la contrainte et la déformation se perd, laissant la place à un comportement non-linéaire de la matière. Ce comportement résulte de la dissipation de l’énergie qui se manifeste par l’apparition de déformations irréversibles. Ce phénomène est appelé "élastoplasticité". Il existe d’autres formes de comportement non-linéaire, soit en phase élastique pour certains matériaux, soit lorsqu’il y a de l’endommagement dans la structure de la matière. L’analyse par éléments finis de la non-linéarité matérielle doit ainsi adopter une formulation spécifique pour la prise en compte de ce phénomène, afin de concilier, les principes de l’équilibre mécanique et, la nature de la loi de comportement.
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The finite element method – material nonlinear analysis
When a material is subjected to high stress levels, proportionality between stress and strain is lost, and its behavior becomes nonlinear. This behavior results from energy dissipation, which is seen in irreversible deformations. This effect is known as elastoplasticity. There are other types of material nonlinearities, either during the elastic stage for some materials, or when the material’s structure is locally damaged. The finite element analysis of material nonlinearity therefore needs to consider a specific formulation to take into account these effects, to satisfy both the principles of mechanical equilibrium and the nature of the material’s constitutive law.
Auteur(s)
Alaa CHATEAUNEUF
: Professeur des universités - Polytech Clermont-Ferrand, Institut Pascal, université Clermont Auvergne, France
INTRODUCTION
Comme la plupart des phénomènes physiques, le comportement des matériaux est principalement non-linéaire et l’hypothèse de linéarité n’est qu’un cas particulier qui est tout à fait valable dans un intervalle et à une échelle d’observation bien définis. Lorsque l’hypothèse de linéarité induit des déviations significatives par rapport au comportement réel, il devient indispensable de prendre en compte les phénomènes non-linéaires dans la méthodologie d’analyse.
Dès le XVIIIe siècle, la notion d’irréversibilité du comportement et de capacité ultime des matériaux a suscité l’intérêt de la communauté scientifique. Au XIXe siècle, de nombreuses expériences sur le fer ont permis de mettre en évidence le seuil de plasticité, ainsi que sa variabilité en fonction du processus de fabrication. La théorie de l’élastoplasticité a été mise en place à partir de la deuxième moitié du XIXe siècle. Grâce au progrès des méthodes numériques, notamment la méthode des éléments finis, l’application pratique de cette théorie sur des structures complexes n’est devenue possible que dans les années 1980.
D’une manière générale, la non-linéarité matérielle peut être décomposée en deux catégories principales :
l’élasticité non-linéaire, qui résulte de la non proportionnalité de la relation entre les contraintes et les déformations, tout en assurant la réversibilité lorsque la structure est déchargée ;
la plasticité, qui traduit la dissipation de l’énergie au cours de la déformation : l’énergie mécanique est transformée en énergie thermique, conduisant à l’irréversibilité du comportement du matériau ; ce mécanisme traduit également la ductilité du matériau qui permet aux métaux de subir des allongements significatifs avant de rompre.
Les difficultés de l’analyse par éléments finis du comportement non-linéaire matériel résultent du fait que la réponse du système structural (i.e. déplacements, déformations et contraintes) dépend fortement de l’histoire des chargements-déchargements, ce qui doit être intrinsèquement pris en compte dans la procédure d’analyse, en termes de formulation et de résolution numérique.
Cette procédure ne peut qu’être incrémentale et itérative. Elle doit impérativement satisfaire les trois principes suivants :
respect de la loi de comportement du matériau, tout au long de l’histoire du chargement ;
satisfaction de l’équilibre statique des forces internes et externes ;
contrôle de la précision de l’approximation locale à l’échelle des points matériels et globale à l’échelle de la structure.
Dans cet article, les fondements de l’analyse par éléments finis du comportement non-linéaire matériel sont développés et illustrés sur des applications simples. Nous nous intéressons essentiellement à l’élastoplasticité dans les matériaux homogènes. L’extension aux cas de l’élasticité non-linéaire et aux matériaux hétérogènes est directement obtenue en tenant compte de la spécificité de la loi de comportement au moyen d’une procédure d’homogénéisation à l’échelle macroscopique.
L’article se termine par la procédure de résolution couplée permettant l’analyse non-linéaire géométrique et matérielle des structures.
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L’élasticité non-linéaire représente le comportement réversible du matériau lorsque la proportionnalité entre les contraintes et les déformations ne peut plus être respectée ; cette non-linéarité est typiquement accompagnée de grandes déformations du matériau (figure 1).
Dans le modèle de Cauchy
La loi de comportement non-linéaire s’écrit dans le cas isotrope par la relation :
( 1 )
ou :
( 2 )
avec :
et
:
respectivement les premiers invariants des tenseurs de contrainte et de déformation,
,
,
et
:
respectivement les 2e et 3e invariants des tenseurs de déviateurs de contrainte et de déformation.
L’énergie de déformation volumique est donnée par :
...
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EUROCODE 3. – Calcul des structures en acier. Partie 1-1 : Règles générales et Règles pour les Bâtiment (EN 1993-1-1 : 2005). CEN/TC 250, octobre 2005.
Bibliographie & annexes
En anglais
Élastoplasticité uniaxiale
( 1 )
( 2 )
et
,
,
et
