Formulation des matrices élastoplastiques
La méthode des éléments finis – Calcul non-linéaire matériel

Comme la plupart des phénomènes physiques, le comportement des matériaux est principalement non-linéaire et l’hypothèse de linéarité n’est qu’un cas particulier qui est tout à fait valable dans un intervalle et à une échelle d’observation bien définis. Lorsque l’hypothèse de linéarité induit des déviations significatives par rapport au comportement réel, il devient indispensable de prendre en compte les phénomènes non-linéaires dans la méthodologie d’analyse.

Dès le XVIII^e siècle, la notion d’irréversibilité du comportement et de capacité ultime des matériaux a suscité l’intérêt de la communauté scientifique. Au XIX^e siècle, de nombreuses expériences sur le fer ont permis de mettre en évidence le seuil de plasticité, ainsi que sa variabilité en fonction du processus de fabrication. La théorie de l’élastoplasticité a été mise en place à partir de la deuxième moitié du XIX^e siècle. Grâce au progrès des méthodes numériques, notamment la méthode des éléments finis, l’application pratique de cette théorie sur des structures complexes n’est devenue possible que dans les années 1980.

D’une manière générale, la non-linéarité matérielle peut être décomposée en deux catégories principales :

• l’élasticité non-linéaire, qui résulte de la non proportionnalité de la relation entre les contraintes et les déformations, tout en assurant la réversibilité lorsque la structure est déchargée ;

• la plasticité, qui traduit la dissipation de l’énergie au cours de la déformation : l’énergie mécanique est transformée en énergie thermique, conduisant à l’irréversibilité du comportement du matériau ; ce mécanisme traduit également la ductilité du matériau qui permet aux métaux de subir des allongements significatifs avant de rompre.

Les difficultés de l’analyse par éléments finis du comportement non-linéaire matériel résultent du fait que la réponse du système structural (i.e. déplacements, déformations et contraintes) dépend fortement de l’histoire des chargements-déchargements, ce qui doit être intrinsèquement pris en compte dans la procédure d’analyse, en termes de formulation et de résolution numérique.

Cette procédure ne peut qu’être incrémentale et itérative. Elle doit impérativement satisfaire les trois principes suivants :

• respect de la loi de comportement du matériau, tout au long de l’histoire du chargement ;

• satisfaction de l’équilibre statique des forces internes et externes ;

• contrôle de la précision de l’approximation locale à l’échelle des points matériels et globale à l’échelle de la structure.

Dans cet article, les fondements de l’analyse par éléments finis du comportement non-linéaire matériel sont développés et illustrés sur des applications simples. Nous nous intéressons essentiellement à l’élastoplasticité dans les matériaux homogènes. L’extension aux cas de l’élasticité non-linéaire et aux matériaux hétérogènes est directement obtenue en tenant compte de la spécificité de la loi de comportement au moyen d’une procédure d’homogénéisation à l’échelle macroscopique.

L’article se termine par la procédure de résolution couplée permettant l’analyse non-linéaire géométrique et matérielle des structures.