Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Lorsqu’un matériau est soumis à des niveaux de contraintes élevés, la proportionnalité entre la contrainte et la déformation se perd, laissant la place à un comportement non-linéaire de la matière. Ce comportement résulte de la dissipation de l’énergie qui se manifeste par l’apparition de déformations irréversibles. Ce phénomène est appelé "élastoplasticité". Il existe d’autres formes de comportement non-linéaire, soit en phase élastique pour certains matériaux, soit lorsqu’il y a de l’endommagement dans la structure de la matière. L’analyse par éléments finis de la non-linéarité matérielle doit ainsi adopter une formulation spécifique pour la prise en compte de ce phénomène, afin de concilier, les principes de l’équilibre mécanique et, la nature de la loi de comportement.
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When a material is subjected to high stress levels, proportionality between stress and strain is lost, and its behavior becomes nonlinear. This behavior results from energy dissipation, which is seen in irreversible deformations. This effect is known as elastoplasticity. There are other types of material nonlinearities, either during the elastic stage for some materials, or when the material’s structure is locally damaged. The finite element analysis of material nonlinearity therefore needs to consider a specific formulation to take into account these effects, to satisfy both the principles of mechanical equilibrium and the nature of the material’s constitutive law.
Auteur(s)
-
Alaa CHATEAUNEUF : Professeur des universités - Polytech Clermont-Ferrand, Institut Pascal, université Clermont Auvergne, France
INTRODUCTION
Comme la plupart des phénomènes physiques, le comportement des matériaux est principalement non-linéaire et l’hypothèse de linéarité n’est qu’un cas particulier qui est tout à fait valable dans un intervalle et à une échelle d’observation bien définis. Lorsque l’hypothèse de linéarité induit des déviations significatives par rapport au comportement réel, il devient indispensable de prendre en compte les phénomènes non-linéaires dans la méthodologie d’analyse.
Dès le XVIIIe siècle, la notion d’irréversibilité du comportement et de capacité ultime des matériaux a suscité l’intérêt de la communauté scientifique. Au XIXe siècle, de nombreuses expériences sur le fer ont permis de mettre en évidence le seuil de plasticité, ainsi que sa variabilité en fonction du processus de fabrication. La théorie de l’élastoplasticité a été mise en place à partir de la deuxième moitié du XIXe siècle. Grâce au progrès des méthodes numériques, notamment la méthode des éléments finis, l’application pratique de cette théorie sur des structures complexes n’est devenue possible que dans les années 1980.
D’une manière générale, la non-linéarité matérielle peut être décomposée en deux catégories principales :
-
l’élasticité non-linéaire, qui résulte de la non proportionnalité de la relation entre les contraintes et les déformations, tout en assurant la réversibilité lorsque la structure est déchargée ;
-
la plasticité, qui traduit la dissipation de l’énergie au cours de la déformation : l’énergie mécanique est transformée en énergie thermique, conduisant à l’irréversibilité du comportement du matériau ; ce mécanisme traduit également la ductilité du matériau qui permet aux métaux de subir des allongements significatifs avant de rompre.
Les difficultés de l’analyse par éléments finis du comportement non-linéaire matériel résultent du fait que la réponse du système structural (i.e. déplacements, déformations et contraintes) dépend fortement de l’histoire des chargements-déchargements, ce qui doit être intrinsèquement pris en compte dans la procédure d’analyse, en termes de formulation et de résolution numérique.
Cette procédure ne peut qu’être incrémentale et itérative. Elle doit impérativement satisfaire les trois principes suivants :
-
respect de la loi de comportement du matériau, tout au long de l’histoire du chargement ;
-
satisfaction de l’équilibre statique des forces internes et externes ;
-
contrôle de la précision de l’approximation locale à l’échelle des points matériels et globale à l’échelle de la structure.
Dans cet article, les fondements de l’analyse par éléments finis du comportement non-linéaire matériel sont développés et illustrés sur des applications simples. Nous nous intéressons essentiellement à l’élastoplasticité dans les matériaux homogènes. L’extension aux cas de l’élasticité non-linéaire et aux matériaux hétérogènes est directement obtenue en tenant compte de la spécificité de la loi de comportement au moyen d’une procédure d’homogénéisation à l’échelle macroscopique.
L’article se termine par la procédure de résolution couplée permettant l’analyse non-linéaire géométrique et matérielle des structures.
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MOTS-CLÉS
méthode d'éléments finis Génie civil mécanique des structures calcul des structures élastoplasticité
KEYWORDS
finite element method | Civil engineering | structural mechanics | structural analysis | elastoplasticity
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Formulation des matrices élastoplastiques
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3. Comportement élastoplastique
Contrairement au cas uniaxial, la relation entre la contrainte et la déformation ne suffit plus pour décrire le comportement élastoplastique dans une analyse des milieux continus bi et tridimensionnels.
Les essais de chargement multiaxial mettent en évidence l’existence d’un domaine d’élasticité initial en fonction du tenseur de contrainte de Cauchy. Tant que le chargement se situe à l’intérieur de ce domaine, les déformations restent réversibles.
La figure 10 illustre les critères obtenus par des essais sur des métaux, soumis à un trajet de chargement composé de contrainte axiale suivi de cisaillement.
La courbe en trait continu correspond au critère de plasticité initial (avant toute plastification). Lorsque le chargement atteint ce critère, il produit des déformations plastiques dont la direction est perpendiculaire au critère de plasticité ; la forme de ce dernier est elle-même modifiée au fur et à mesure du chargement. Autrement dit, le chargement tend à élargir le critère de plasticité au voisinage des contraintes appliquées.
Ce phénomène est appelé « écrouissage » et traduit l’évolution de la frontière du domaine élastique, qui est généralement orientée selon la direction du chargement.
Au cours du chargement, le critère de plasticité évolue de façon continue, en passant par les formes en traits discontinus indiquées par (1), (2) et (3) sur la figure 10.
À titre d’exemple, le critère de plasticité prend la forme (1) lorsque le chargement atteint le point 1, et ainsi de suite. L’accroissement du vecteur de déformation plastique reste toujours perpendiculaire au critère de plasticité courant.
Cette propriété est appelée « loi de la normalité ».
La théorie de la plasticité définit un cadre permettant la formulation du comportement élastoplastique, au moyen des trois règles suivantes :
-
un seuil de plasticité, appelé aussi critère de plasticité, qui caractérise l’état des contraintes multiaxiales à partir desquelles commence l’écoulement plastique ;
-
une loi d’écoulement, qui relie l’incrément des déformations plastiques aux contraintes actuelles...
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Comportement élastoplastique
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BATHE (K.-J.) - Finite Element Procedures. - Prentice Hall, Inc., N.J. (2006).
-
(2) - BATOZ (J.-L.), DHATT (G.) - Modélisation des structures par éléments finis – Tomes 1, 2 et 3. - Hermès (1992).
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(3) - CHATEAUNEUF (A.) - Comprendre les éléments finis. - Collection : Technosup, Ellipses (2005).
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(4) - COURBON (J.) - Résistance des matériaux. - Dunod, Paris (1971).
-
(5) - CRAVEUR (J.-C.), JETTEUR (Ph.) - Introduction à la mécanique non-linéaire, Calcul des structures par éléments finis. - Collection : Sciences Sup, Dunod (2010).
-
(6) - ILYUSHIN (A.-A.) - Plasticité, - Eyrolles, Paris (1956).
- ...
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ABAQUS – Dassault Systèmes
ANSYS , France
CAST3M – Commissariat à l’Énergie Atomique,
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EUROCODE 3. – Calcul des structures en acier. Partie 1-1 : Règles générales et Règles pour les Bâtiment (EN 1993-1-1 : 2005). CEN/TC 250, octobre 2005.
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