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RÉSUMÉ
Cet article tente de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation). Le propos a été restreint à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.
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Jean LÉVINE : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes
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Pierre ROUCHON : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes
INTRODUCTION
Dans ce dossier, nous allons tenter de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation).
Nous avons restreint le propos à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.
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Systèmes oscillants et PLL
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10. Systèmes multi-échelles et cascade de régulateurs
La théorie des perturbations vise à éliminer les effets à court terme pour ne conserver que les effets à long terme. Elle permet de relier les trajectoires de deux systèmes ayant des espaces d'état de dimensions différentes, le système perturbé possédant un nombre d'états plus grand que le système réduit. C'est un outil précieux pour la construction de modèles réduits résumant l'essentiel des comportements qualitatifs à long terme.
De manière générale, on distingue deux cas illustrés par la figure 10 :
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premier cas : les effets rapides se stabilisent très vite et on parle alors de perturbations singulières, d'approximation quasi-statique, ou encore d'approximation adiabatique (figure 10 a ) ;
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second cas : les effets rapides ne sont pas asymptotiquement stables mais restent d'amplitude bornée. Ils sont donc oscillants et l'on parle alors indifféremment de moyennisation ou d'approximation séculaire (figure 10 b ).
Le premier cas est abordé ici. Le second est traité plus loin lorsque la dynamique rapide est périodique.
Les cas plus généraux où la dynamique rapide n'est pas périodique sont nettement plus difficiles à formaliser. Il faut passer par la théorie ergodique des systèmes dynamiques, sujet ayant des connections fortes avec la théorie des mesures invariantes et des systèmes stochastiques, mais qui déborde largement du cadre de cet exposé.
10.1 Systèmes lents/rapides
On ne considère ici que les systèmes continus du type :
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Systèmes multi-échelles et cascade de régulateurs
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ABRAHAM (R.H.), SHAW (C.D.) - Dynamics – The Geometry of Behavior : I-IV. - Aerial Press, Santa Cruz, California (1981).
-
(2) - ABRAMOWITZ (M.), STEGUN (I.A.) - Handbook of Mathematical Functions. - Dover, New York (1965).
-
(3) - ANGOT (A.) - Compléments de mathématiques. - Éditions de la revue d'optique, Paris, third edition (1957).
-
(4) - ARNOLD (V.) - Chapitres Supplémentaires de la Théorie des Équations Différentielles Ordinaires. - Mir Moscou (1980).
-
(5) - BERGÉ (P.), POMEAU (Y.), VIDAL (Ch.) - L'ordre dans le chaos. - Hermann, Paris (1984).
-
(6) - FILIPPOV (A.F.) - Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London (1988).
- ...
ANNEXES
Autres ouvrages
ANDRONOV (A.) et al - Theory of oscillators, - Dover, 1987.
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Centre Automatique et système (CAS) de l'École des mines de Paris http://www.ensmp.fr
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