Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article tente de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation). Le propos a été restreint à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.
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This article attempts to show how the theory of dynamic systems provides, on one hand, some very useful tools for synthesizing stabilizing controllers (perturbation theory, hierarchical control, Lyapunov synthesis) and, on the other, a valuable theoretical guide for analyzing the stability and robustness of non-linear closed-loop systems (stability in the Lyapunov sense, bifurcations, Poincaré-Bendixson theorem for flat systems, averaging). The scope has been restricted to the stabilization of equilibrium points, but similar methods make it possible to treat the stabilization around other types of trajectories such as periodic orbits.
Auteur(s)
-
Jean LÉVINE : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes
-
Pierre ROUCHON : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes
INTRODUCTION
Dans ce dossier, nous allons tenter de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation).
Nous avons restreint le propos à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.
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Systèmes multi-échelles et cascade de régulateurs
En anglais
9. Régulateur PI avec « anti-windup »
Le but de cette section est de donner la raison fondamentale qui explique pourquoi l'immense majorité des régulateurs utilisés dans l'industrie sont de type proportionnel intégral avec anti-emballement de l'intégrale, régulateur dit « PI avec “anti-windup” ».
Il est souvent possible d'avoir une bonne approximation de la relation entre la mesure y et la commande u par un système du premier ordre non linéaire, stable en boucle ouverte (pas nécessairement asymptotiquement, ce qui inclut l'intégrateur pur) et dont on connaît le signe du gain que l'on prendra strictement positif. Cela veut dire que pour le schéma-bloc de la figure 1 on a y ≥ x avec
où dim x ≥ 1,
pour toutes valeurs de x, u, w. Ainsi, les seules informations que l'on a sur f sont de nature très qualitative. On suppose que le contrôle scalaire
est soumis aux contraintes u ∊ [u min, u max] (u min < u max).
Le régulateur PI avec anti-emballement que nous considérons ici est donné par :
( 2 )
où la fonction saturation S at est définie par :
( 3 )
et où :
-
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...
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Régulateur PI avec « anti-windup »
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ABRAHAM (R.H.), SHAW (C.D.) - Dynamics – The Geometry of Behavior : I-IV. - Aerial Press, Santa Cruz, California (1981).
-
(2) - ABRAMOWITZ (M.), STEGUN (I.A.) - Handbook of Mathematical Functions. - Dover, New York (1965).
-
(3) - ANGOT (A.) - Compléments de mathématiques. - Éditions de la revue d'optique, Paris, third edition (1957).
-
(4) - ARNOLD (V.) - Chapitres Supplémentaires de la Théorie des Équations Différentielles Ordinaires. - Mir Moscou (1980).
-
(5) - BERGÉ (P.), POMEAU (Y.), VIDAL (Ch.) - L'ordre dans le chaos. - Hermann, Paris (1984).
-
(6) - FILIPPOV (A.F.) - Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London (1988).
- ...
ANNEXES
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