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RÉSUMÉ
Cet article tente de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation). Le propos a été restreint à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Jean LÉVINE : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes
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Pierre ROUCHON : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes
INTRODUCTION
Dans ce dossier, nous allons tenter de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation).
Nous avons restreint le propos à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.
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Première variation et étude de sensibilité
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2. Existence des solutions et problème de Cauchy
La simulation en boucle ouverte (respectivement en boucle fermée) consiste à calculer (en général numériquement, voir § 1) la loi horaire de l'état x (t ) (respectivement (x (t ), ξ (t ))) à partir de la connaissance de l'état x 0 (respectivement (x 0, ξ 0)) et des lois horaires des entrées u (t ) et w (t ) (respectivement v (t ) et w (t )).
La principale hypothèse pour laquelle une telle solution existe pour des temps proches de 0 et est unique porte sur la dépendance de f (respectivement f et a) par rapport à l'état. D'une part, cette dépendance doit être plus que simplement continue, elle doit être lipschitzienne ; c'est-à-dire, pour chaque état x, il existe K > 0 tel que, pour tout z proche de x, on ait :
(K peut dépendre de u et w)
Le résultat d'existence et d'unicité est connu sous le nom de théorème de Cauchy-Lipschitz (voir [11] et [14] pour un énoncé précis).
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Existence des solutions et problème de Cauchy
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ABRAHAM (R.H.), SHAW (C.D.) - Dynamics – The Geometry of Behavior : I-IV. - Aerial Press, Santa Cruz, California (1981).
-
(2) - ABRAMOWITZ (M.), STEGUN (I.A.) - Handbook of Mathematical Functions. - Dover, New York (1965).
-
(3) - ANGOT (A.) - Compléments de mathématiques. - Éditions de la revue d'optique, Paris, third edition (1957).
-
(4) - ARNOLD (V.) - Chapitres Supplémentaires de la Théorie des Équations Différentielles Ordinaires. - Mir Moscou (1980).
-
(5) - BERGÉ (P.), POMEAU (Y.), VIDAL (Ch.) - L'ordre dans le chaos. - Hermann, Paris (1984).
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(6) - FILIPPOV (A.F.) - Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London (1988).
- ...
ANNEXES
Autres ouvrages
ANDRONOV (A.) et al - Theory of oscillators, - Dover, 1987.
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Centre Automatique et système (CAS) de l'École des mines de Paris http://www.ensmp.fr
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