Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article tente de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation). Le propos a été restreint à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.
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This article attempts to show how the theory of dynamic systems provides, on one hand, some very useful tools for synthesizing stabilizing controllers (perturbation theory, hierarchical control, Lyapunov synthesis) and, on the other, a valuable theoretical guide for analyzing the stability and robustness of non-linear closed-loop systems (stability in the Lyapunov sense, bifurcations, Poincaré-Bendixson theorem for flat systems, averaging). The scope has been restricted to the stabilization of equilibrium points, but similar methods make it possible to treat the stabilization around other types of trajectories such as periodic orbits.
Auteur(s)
-
Jean LÉVINE : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes
-
Pierre ROUCHON : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes
INTRODUCTION
Dans ce dossier, nous allons tenter de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation).
Nous avons restreint le propos à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.
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Présentation
Régulateur PI avec « anti-windup »
En anglais
8. Fonction de Lyapounov et stabilisation
8.1 Exemple fondamental
Considérons l'oscillateur non linéaire suivant :
avec :
- k :
- paramètre strictement positif,
- g :
- telle que zg (z ) > 0 pour z ≠ 0.
On peut réécrire ce système sous forme d'état avec x 1 ≥ z et
:
Considérons l'énergie du système :
Cette fonction est continue et possède des dérivées partielles continues. V possède un unique minimum en (x 1 , x 2) ≥ (0, 0). Calculons maintenant
, la dérivée de V le long des trajectoires. On a :
Ainsi, sans connaître explicitement la loi horaire
, on sait que
. En outre, on remarque que V est strictement positive en dehors de l'origine, et nulle en (0, 0). Les ensembles
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Fonction de Lyapounov et stabilisation
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ABRAHAM (R.H.), SHAW (C.D.) - Dynamics – The Geometry of Behavior : I-IV. - Aerial Press, Santa Cruz, California (1981).
-
(2) - ABRAMOWITZ (M.), STEGUN (I.A.) - Handbook of Mathematical Functions. - Dover, New York (1965).
-
(3) - ANGOT (A.) - Compléments de mathématiques. - Éditions de la revue d'optique, Paris, third edition (1957).
-
(4) - ARNOLD (V.) - Chapitres Supplémentaires de la Théorie des Équations Différentielles Ordinaires. - Mir Moscou (1980).
-
(5) - BERGÉ (P.), POMEAU (Y.), VIDAL (Ch.) - L'ordre dans le chaos. - Hermann, Paris (1984).
-
(6) - FILIPPOV (A.F.) - Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London (1988).
- ...
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