Bibliographie & annexes
Présentation
English
Auteur(s)
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André J. FOSSARD : Professeur à l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace
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Frank ORTIZ : Ingénieur en Automatique et informatique industrielle
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Lire l’articleINTRODUCTION
Tous les systèmes de commande sont soumis, de fait, à des contraintes sur les actionneurs, sous forme de saturations, qu’il s’agisse de contraintes de position ou de vitesse. Dans le premier cas il s’agit de butées (butées de gouvernes, limites de course d’un vérin…) dans le second cas de limitations de débit hydraulique, de couple…
Même si ces limitations n’interviennent que plus ou moins occasionnellement, sous des perturbations ou lors de l’application de consignes particulièrement fortes, elles sont inévitables en pratique car il est hors de question, pour des raisons de coût, de consommation, de poids…, de dimensionner les actionneurs de façon à être sûr de les éviter dans tous les cas.
Or, si la dynamique linéaire des actionneurs est très généralement prise en compte lors de la conception d’un système de commande, leur comportement non linéaire, lié à ces saturations, l’est beaucoup moins, surtout dans le cas de saturations de vitesse, a fortiori lorsque l’on a, simultanément, saturation de vitesse et saturation de position.
Pourtant, ces limitations peuvent avoir des répercussions très importantes sur les performances des systèmes de commande, allant d’une simple dégradation, avec des dépassements importants, comme dans le phénomène de saturation d’intégrateur (wind up), jusqu’à l’instabilité, en passant par la génération de cycles limites de grande amplitude.
On propose ici une méthode simple (dans le cas monoentrée), permettant d’analyser le comportement d’un système soumis à des saturations de vitesse, couplées ou non à des saturations de position, et en particulier de prévoir l’existence de cycles limites ou d’instabilités. La méthode, basée sur la technique du gain équivalent dynamique, est typiquement une méthode d’ingénieur et elle se révèle adaptée aussi bien à la synthèse qu’à l’analyse.
Dans cet article, on suppose le lecteur familier avec la méthode du premier harmonique dans le cas de non-linéarités statiques.
Le lecteur se reportera utilement aux articles de la rubrique Analyse des systèmes asservis et notamment aux articles :
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Détermination des cycles limites et des domaines de stabilité
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1. Analyse et outils
1.1 Saturation de vitesse : une non-linéarité dynamique
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L’effet d’une saturation de position est simple. Il consiste tout simplement à écrêter un signal lorsque son amplitude dépasse un niveau ± M. Il s’agit donc d’une non-linéarité statique, c’est-à-dire que le signal saturé ne dépend que de l’amplitude du signal incident, indépendamment de sa vitesse d’évolution ; de plus signal saturé et signal incident sont en phase.
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Dans le cas d’une saturation de vitesse, au contraire, le phénomène dépend à la fois de l’amplitude du signal et de la façon dont il évolue dans le temps. Le signal saturé est de plus déphasé par rapport au signal incident. Pour illustrer cette propriété, le plus simple est sans doute de considérer un signal incident triangulaire, centré, puisque les deux signaux ont alors qualitativement la même forme. La figure 1 visualise ce qui se passe. Le signal incident x, d’amplitude x 0 , est constitué de segments de pentes ± a. Le signal saturé en vitesse, au niveau Lv , (Lv < a ) est constitué de segments de pentes ± Lv .
Soit ω la pulsation et Δφ la phase du signal, le rapport d’amplitude s’écrit alors :
et le déphasage entre les deux signaux s’écrit :
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Analyse et outils
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BERNSTEIN (D.S.), MICHEL (A.N.) - A chronological bibliography on saturating actuators. - International Journal of Robust and Non linear Control. Vol. 5, no 5, p. 375 à 380 (août 1995).
-
(2) - FOSSARD (A.J.) - Méthode du premier harmonique. - Polycopié de l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace. Toulouse (1995).
-
(3) - GILLE (J.Ch.) - Base des systèmes non linéaires. - Casteilla (2000).
-
(4) - KHALIL (H.K.) - Non linear Systems. - Mac Millan (1992).
-
(5) - SLOTINE (J.E.), LI (W.) - Applied non linear control. - Prentice Hall (1991).
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(6) - DUDA (H.) - Frequency Domain Analysis of Rate Limiting Elements in Flight Control Systems. - DLR-FB 94-16 (en allemand) (août 1994).
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