Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
Auteur(s)
-
André J. FOSSARD : Professeur à l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace
-
Frank ORTIZ : Ingénieur en Automatique et informatique industrielle
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Lire l’articleINTRODUCTION
Tous les systèmes de commande sont soumis, de fait, à des contraintes sur les actionneurs, sous forme de saturations, qu’il s’agisse de contraintes de position ou de vitesse. Dans le premier cas il s’agit de butées (butées de gouvernes, limites de course d’un vérin...) dans le second cas de limitations de débit hydraulique, de couple...
Même si ces limitations n’interviennent que plus ou moins occasionnellement, sous des perturbations ou lors de l’application de consignes particulièrement fortes, elles sont inévitables en pratique car il est hors de question, pour des raisons de coût, de consommation, de poids..., de dimensionner les actionneurs de façon à être sûr de les éviter dans tous les cas.
Or, si la dynamique linéaire des actionneurs est très généralement prise en compte lors de la conception d’un système de commande, leur comportement non linéaire, lié à ces saturations, l’est beaucoup moins, surtout dans le cas de saturations de vitesse, a fortiori lorsque l’on a, simultanément, saturation de vitesse et saturation de position.
Pourtant, ces limitations peuvent avoir des répercussions très importantes sur les performances des systèmes de commande, allant d’une simple dégradation, avec des dépassements importants, comme dans le phénomène de saturation d’intégrateur (wind up), jusqu’à l’instabilité, en passant par la génération de cycles limites de grande amplitude.
On propose ici une méthode simple (dans le cas monoentrée), permettant d’analyser le comportement d’un système soumis à des saturations de vitesse, couplées ou non à des saturations de position, et en particulier de prévoir l’existence de cycles limites ou d’instabilités. La méthode, basée sur la technique du gain équivalent dynamique, est typiquement une méthode d’ingénieur et elle se révèle adaptée aussi bien à la synthèse qu’à l’analyse.
Dans cet article, on suppose le lecteur familier avec la méthode du premier harmonique dans le cas de non-linéarités statiques.
Le lecteur se reportera utilement aux articles de la rubrique Analyse des systèmes asservis et notamment aux articles :
-
Étude fréquentielle des systèmes continus Étude fréquentielle des systèmes continus ;
-
Systèmes non linéaires - Méthode du premier harmonique Systèmes non linéaires- Méthode du premier harmonique dans ce traité.
Pour plus de détails, le lecteur pourra également consulter les références à .
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Élimination des cycles
En anglais
3. Exemple d’application
À titre d’illustration, très simple, considérons le cas d’un système du deuxième ordre dont les équations d’état, avant compensation, sont écrites sous forme matricielle (
) :
avec :
- ρ :
- paramètre, que l’on supposera d’abord égal à 6
-
![]()
: - variation de x par rapport au temps :
![]()
.
. Ces équations, très schématiquement, pourraient être celles d’un véhicule aérien, en tangage, modélisé en incidence et vitesse d’assiette, où le paramètre ρ serait lié au centrage.
la technique proposée étant basée sur l’approximation du premier harmonique et l’utilisation des lieux de transfert, une augmentation de l’ordre du système ne pose aucune difficulté.
3.1 Détermination des cycles
On suppose que ce système a été compensé pour obtenir en boucle fermée un mode de pulsation ωn , d’amortissement δ. La fonction de transfert en boucle ouverte est alors (figure 12) :
On a représenté figure 13a les lieux de transfert en boucle ouverte pour δ = 0,7 et ωn variable, correspondant à des systèmes réglés plus ou moins rapidement. On suppose également, qu’en fait,...
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Exemple d’application
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERNSTEIN (D.S.), MICHEL (A.N.) - A chronological bibliography on saturating actuators. - International Journal of Robust and Non linear Control. Vol. 5, no 5, p. 375 à 380 (août 1995).
-
(2) - FOSSARD (A.J.) - Méthode du premier harmonique. - Polycopié de l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace. Toulouse (1995).
-
(3) - GILLE (J.Ch.) - Base des systèmes non linéaires. - Casteilla (2000).
-
(4) - KHALIL (H.K.) - Non linear Systems. - Mac Millan (1992).
-
(5) - SLOTINE (J.E.), LI (W.) - Applied non linear control. - Prentice Hall (1991).
-
(6) - DUDA (H.) - Frequency Domain Analysis of Rate Limiting Elements in Flight Control Systems. - DLR-FB 94-16 (en allemand) (août 1994).
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