Bibliographie & annexes
Présentation
English
RÉSUMÉ
Cet article présente une introduction à l'analyse et à la conception de systèmes à convergence rapide. L'attention principale est portée sur les dynamiques convergentes à temps fini et à temps fixe. Deux grands groupes d'approches d'analyse et de synthèse pour ce type de convergence sont décrits : celles basées sur les fonctions de Lyapunov et celles reposant la théorie des systèmes homogènes. Certains algorithmes de contrôle et d'estimation populaires,
qui possèdent de telles propriétés de convergence accélérés, sont revus. Les problèmes de discrétisation des systèmes convergents à temps fini/fixe sont
discutés. Tous les résultats sont illustrés par des exemples simples (scalaires ou planaires).
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Lire l’articleAuteur(s)
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Denis EFIMOV : Chercheur - Inria, Univ. Lille, CNRS, UMR 9189 – CRIStAL, F-59000 Lille, France
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Andrey POLYAKOV : Chercheur - Inria, Univ. Lille, CNRS, UMR 9189 – CRIStAL, F-59000 Lille, France
INTRODUCTION
La théorie du contrôle est utilisée pour concevoir les régulateurs des systèmes dynamiques, pour estimer les variables d’état internes ou les paramètres des installations, pour surveiller et détecter les défauts, dans de nombreux domaines de l’ingénierie, des sciences techniques ou naturelles. Les exigences de qualité importantes, qui sont associées à ces conceptions, concernent le temps de convergence des erreurs d’estimation ou de contrôle vers zéro, et leur robustesse par rapport aux perturbations non modélisées et aux bruits de mesure, ou aux retards d’actionnement ou de détection. À cette fin, les concepts de convergence en temps fini ou en temps fixe montrent leur importance, car l’imposition de ces contraintes d’accélération à la dynamique en boucle fermée implique également des caractéristiques de robustesse remarquables de ces systèmes. Cet article fournit les motivations de base, les définitions des propriétés des systèmes convergents à temps fini et à temps fixe, avec la conception correspondante des commandes et des observateurs d’état. Une attention particulière est accordée à la mise en œuvre en temps discret de ce type d’algorithmes, ce qui est particulièrement difficile. L’exposé est accompagné d’exemples simples illustratifs.
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MOTS-CLÉS
Contrôle automatique Estimation d'état Stabilité en temps fini Stabilité à temps fixe Systèmes homogènes
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Conception de loi de commande
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3. Homogénéité
Comme nous l’avons vu dans la section précédente, l’existence d’une fonction de Lyapunov propre est nécessaire et suffisante pour la stabilité avec convergence accélérée. Cependant, c’est un fait bien connu qu’il est très difficile de trouver une fonction de Lyapunov appropriée pour un système non linéaire, même pour établir une convergence et une stabilité asymptotiques. Par conséquent, dans le cas d’une convergence accélérée, compte tenu des exigences strictes supplémentaires, la conception d’une fonction de Lyapunov devient beaucoup plus difficile (voir ). Il existe une autre approche, basée sur l’homogénéité, qui a ouvert la porte à une synthèse simple et à une large application d’algorithmes de contrôle et d’estimation convergents à temps fini/fixe.
3.1 Définitions et concepts de base
Dans cette section, nous présentons plusieurs définitions de l’homogénéité, en commençant par la plus simple (qui est aussi la plus restrictive), jusqu’à des concepts plus sophistiqués (qui incluent des classes de dynamiques plus générales). La classe des normes homogènes (une sorte de fonctions de distance possédant les propriétés d’homogénéité) sera introduite.
HAUT DE PAGE3.1.1 Concept classique d’homogénéité
La symétrie est un type d’invariance lorsque les caractéristiques d’un objet ne changent pas sous un certain type de transformations. Cela se produit dans de nombreuses branches des mathématiques. L’exemple le plus simple de symétrie peut être trouvé dans la géométrie comme invariance de figures par rapport aux rotations, aux translations ou aux dilatations. Il est bien connu que la taille et la forme de la figure sont invariantes en ce qui...
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Homogénéité
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ROXIN (E.) - On finite stability in control systems. - Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 15:273–283 (1966).
-
(2) - POLYAKOV (A.) - Nonlinear feedback design for fixed-time stabilization of linear control systems. - IEEE Transactions on Automatic Control, 57 (8) : 2106–2110 (2012).
-
(3) - ERUGIN (N.) - On the continuouation of solutions of differential equations (in russian). - Prikl. Mat. Mekh., 17 (4) (1951).
-
(4) - BHAT (S.), BERNSTEIN (D.) - Finite time stability of continuous autonomous systems. - SIAM J. Control Optim., 38 (3) : 751–766 (2000).
-
(5) - ZUBOV (V.I.) - Methods of A.M. Lyapunov and Their Applications. - Noordhoff, Leiden (1964).
-
(6) - KHOMENUK (V.V.) - On systems of ordinary differential equations with generalized homogenous...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Homogeneous Control Systems Toolbox for MATLAB,
https://gitlab.inria.fr/polyakov/hcs-toolbox-for-matlab
HAUT DE PAGE
International Workshop on Variable Structure Systems
IFAC World Congress
IEEE Conference on Decision and Control
European Control Conference
HAUT DE PAGEDocumentation – Formation – Séminaires (liste non exhaustive)
Polyakov, A., Upgrading Linear Controllers : Method of Generalized Homogenization
https://www.quanser.com/events-webinars/upgrading-linear-pid-controllers
Fridman L., Sliding Mode Controllers : Stages of Evolution,
https://www.quanser.com/events-webinars/hardware-and-digital-platforms-for-teaching-2/
Input-to-State Stability and its Applications
https://researchseminars.org/seminar/ISS-Theory
Laboratoires – Bureaux d’études – Écoles – Centres de recherche (liste non exhaustive)LS2N CNRS, http://www.ls2n.fr
Centre...
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