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RÉSUMÉ
Les méthodes de Monte Carlo sont indispensables dans des domaines aussi variés que la finance, les télécommunications, la biologie ou encore les sciences sociales. Elles permettent de résoudre des problèmes centrés sur un calcul à l’aide du hasard. Cet article effectue une présentation de ces méthodes, au travers dans un premier temps des principes de base (calcul de sommes et intégrales, simulation à évènements discrets, etc.). Dans un second temps, une analyse de la précision de ces méthodes est proposée : elle aborde notamment les intervalles de confiance, les réplications indépendantes, les estimations par blocs, etc.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Gerardo RUBINO : Directeur de recherche - Institut national de recherche en informatique et en automatique (INRIA) - Institut de recherche en informatique et systèmes aléatoires (IRISA), Rennes
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Bruno TUFFIN : Chargé de recherche, INRIA, IRISA, Rennes
INTRODUCTION
Les méthodes de simulation Monte Carlo peuvent être vues comme des méthodes d'approximation, même s'il s'agit d'approximations au sens statistique du terme. Il n'y a pas un consensus absolu sur une définition précise de ce qu'est une technique de type Monte Carlo, mais la description la plus habituelle consiste à dire que les méthodes de ce type se caractérisent par l'utilisation du hasard pour résoudre des problèmes centrés sur un calcul. Elles sont en général applicables à des problèmes de type numérique, ou bien à des problèmes de nature elle-même probabiliste.
Du point de vue des applications, ces méthodes sont aujourd'hui indispensables dans des domaines aussi variés et différents que la finance, la mise au point de nouveaux microcomposants électroniques, la sismologie, les télécommunications, en ingénierie ou en physique, mais aussi en biologie, en sciences sociales, etc. Par exemple, en chimie, en physique, ou même en biologie, de nombreux problèmes exigent l'analyse des propriétés dynamiques d'un nombre tellement grand d'objets (particules atomiques, atomes, molécules ou macromolécules), que ceci ne peut se faire que par des techniques de type Monte Carlo.
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Méthodes de quasi-Monte Carlo
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5. Génération de nombres pseudo-aléatoires
Au cœur de l'utilisation du hasard pour faire du calcul se trouve le problème de la génération de nombres pseudo-aléatoires. On appelle de cette façon la production de suites de nombres se comportant, du point de vue statistique, comme des réalisations de suites de variables aléatoires i.i.d. Les mots en italiques sont importants : il faut parler de suites (en général, de longues suites) de nombres. Si l'on souhaitait « produire » une seule valeur binaire uniforme (un ‘0' ou un ‘1' avec probabilité 1/2), on pourrait aussi bien écrire ‘0' que ‘1', les deux possibilités sont également « bonnes ». S'il fallait un réel se comportant comme une réalisation d'une v.a. uniforme sur [0, 1], on pourrait écrire 0,0, ou 0,5, ou 0,12345, cela ne fait aucune différence. Il en va tout autrement pour produire 106 nombres se comportant comme une réalisation possible de 106 v.a. uniformes sur [0, 1] et indépendantes, et c'est de cela qu'il s'agit dans les méthodes de type Monte Carlo. On souhaite que la suite de nombres produite se comporte, du point de vue de diverses propriétés statistiques, comme une telle réalisation. Philosophiquement, on sait aujourd'hui définir une suite de nombres aléatoires, ceci ayant été initié par les travaux du logicien Martin-Löf, et, en particulier, aucune suite produite par un algorithme ne peut satisfaire la définition. En revanche, on sait aujourd'hui construire, en pratique, des suites que l'on ne sait pas « différencier significativement » du « vrai » hasard.
Dans cette section, nous décrivons quelques méthodes bien testées de production de ce type de suite de nombres, en essayant de rester à jour avec les résultats de la recherche. La technologie évolue dans ce domaine comme dans tout autre, et ce qui était un bon générateur à une époque devient un générateur moyen plus tard, les chercheurs ayant trouvé de meilleurs moyens de mimer le hasard.
5.1 Génération d'une suite i.i.d., uniforme sur [0, 1]
Générer des nombres se comportant comme des variables aléatoires uniformes est un élément central dans les techniques de mise en œuvre des procédures de type Monte Carlo.
Partons d'un exemple de base : considérons une suite d'entiers positifs x n = a 1 x n −1 + a...
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Génération de nombres pseudo-aléatoires
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BUCKLEW (J.A.) - Introduction to Rare Event Simulation - . Springer-Verlag, New York (2004).
-
(2) - CANCELA (H.), RUBINO (G.), TUFFIN (B.) - New measures of robustness in rare event simulation - . In F.B. Armstrong, M.E. Kuhl, N.M. Steiger and J.A. Joines (éd.), Proceedings of the 2005 Winter Simulation Conference, 519-527 (2005).
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(3) - CHENG (R.C.H.), DAVENPORT (T.) - The problem of dimensionality in stratified sampling - . Management Science, 35(11), 1278-1296 (1989).
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(4) - DEVROYE (L.) - Non-Uniform Random Variate Generation - . Springer-Verlag (1986).
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(5) - FISHMAN (G.S.), HUANG (B.D.) - Antithetic Variates Revisited - . Communications of the ACM, 26(11), 964-971 (1983).
-
(6) - FISHMAN (G.S.) - Monte Carlo : Concepts, Algorithms and Applications - . Springer-Verlag (1996).
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