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RÉSUMÉ
Les méthodes de Monte Carlo sont indispensables dans des domaines aussi variés que la finance, les télécommunications, la biologie ou encore les sciences sociales. Elles permettent de résoudre des problèmes centrés sur un calcul à l’aide du hasard. Cet article effectue une présentation de ces méthodes, au travers dans un premier temps des principes de base (calcul de sommes et intégrales, simulation à évènements discrets, etc.). Dans un second temps, une analyse de la précision de ces méthodes est proposée : elle aborde notamment les intervalles de confiance, les réplications indépendantes, les estimations par blocs, etc.
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Monte Carlo methods are essential in domains as varied as finance, telecommunications, biology or even social sciences. They allow for solving problems centered on random calculation. This article firstly presents these methods via their basic principles (calculation of sums and integrals, discrete event simulation, etc.). An analysis of the precision of these methods is then provided; it notably deals with confidence intervals, independent replications, block estimates, etc.
Auteur(s)
-
Gerardo RUBINO : Directeur de recherche - Institut national de recherche en informatique et en automatique (INRIA) - Institut de recherche en informatique et systèmes aléatoires (IRISA), Rennes
-
Bruno TUFFIN : Chargé de recherche, INRIA, IRISA, Rennes
INTRODUCTION
Les méthodes de simulation Monte Carlo peuvent être vues comme des méthodes d'approximation, même s'il s'agit d'approximations au sens statistique du terme. Il n'y a pas un consensus absolu sur une définition précise de ce qu'est une technique de type Monte Carlo, mais la description la plus habituelle consiste à dire que les méthodes de ce type se caractérisent par l'utilisation du hasard pour résoudre des problèmes centrés sur un calcul. Elles sont en général applicables à des problèmes de type numérique, ou bien à des problèmes de nature elle-même probabiliste.
Du point de vue des applications, ces méthodes sont aujourd'hui indispensables dans des domaines aussi variés et différents que la finance, la mise au point de nouveaux microcomposants électroniques, la sismologie, les télécommunications, en ingénierie ou en physique, mais aussi en biologie, en sciences sociales, etc. Par exemple, en chimie, en physique, ou même en biologie, de nombreux problèmes exigent l'analyse des propriétés dynamiques d'un nombre tellement grand d'objets (particules atomiques, atomes, molécules ou macromolécules), que ceci ne peut se faire que par des techniques de type Monte Carlo.
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3. Analyse de la précision
Les méthodes de Monte Carlo sont des méthodes approchées de calcul d'une valeur. Comme pour toute méthode de cette sorte, il est important de disposer d'outils permettant de connaître la précision obtenue. Puisque les méthodes Monte Carlo utilisent des variables aléatoires, on utilise des outils statistiques [6].
3.1 Intervalles de confiance
Les outils statistiques permettent d'obtenir un intervalle de confiance, c'est-à-dire un intervalle de la forme ]x1,n(α), x2,n(α)[ où n est la taille de l'échantillon, ce qui signifie que la valeur x cherchée est dans cet intervalle avec la probabilité α. Augmenter le niveau de confiance α (diminuer le risque 1 − α) conduit à augmenter la taille de l'intervalle pour une taille d'échantillon n donnée.
HAUT DE PAGE3.2 Réplications indépendantes
La technique des réplications indépendantes permet d'analyser très simplement l'erreur dans le cas de calculs de sommes, d'intégrales, de résolutions de systèmes d'équations linéaires ou intégrales, et plus généralement tout problème d'estimation de mesure statique ou transitoire, c'est-à-dire respectivement quand le système est indépendant du temps ou évolue pendant un horizon de temps fini.
Le résultat clé est le théorème de la limite centrale (TLC). Si X1, ..., Xn sont n variables aléatoires indépendantes d'espérance µ et de variance σ2, le TLC décrit le comportement de la moyenne arithmétique :
lorsque n est grand. Plus précisément, si l'on considère la normalisation de
:
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BUCKLEW (J.A.) - Introduction to Rare Event Simulation - . Springer-Verlag, New York (2004).
-
(2) - CANCELA (H.), RUBINO (G.), TUFFIN (B.) - New measures of robustness in rare event simulation - . In F.B. Armstrong, M.E. Kuhl, N.M. Steiger and J.A. Joines (éd.), Proceedings of the 2005 Winter Simulation Conference, 519-527 (2005).
-
(3) - CHENG (R.C.H.), DAVENPORT (T.) - The problem of dimensionality in stratified sampling - . Management Science, 35(11), 1278-1296 (1989).
-
(4) - DEVROYE (L.) - Non-Uniform Random Variate Generation - . Springer-Verlag (1986).
-
(5) - FISHMAN (G.S.), HUANG (B.D.) - Antithetic Variates Revisited - . Communications of the ACM, 26(11), 964-971 (1983).
-
(6) - FISHMAN (G.S.) - Monte Carlo : Concepts, Algorithms and Applications - . Springer-Verlag (1996).
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