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RÉSUMÉ
Cet article expose les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Les modèles paramétriques présentent en général un paramètre d’intérêt de dimension infinie ; le plus souvent ce paramètre est une fonction que l’on cherche à estimer. Sont étudiées plus particulièrement les méthodes de la densité par projection, de la fonction de répartition, ainsi que celles de la densité spectrale. Ces méthodes présentent le grand intérêt de résister aux changements de modèles. Elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles possèdent l’avantage d’être très efficaces pour la prévision. Quelques applications permettent l’illustration concrète de cette présentation.
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-
Denis BOSQ : Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Dans cet article, nous exposons les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Ces méthodes ont l'avantage d'être robustes : elles résistent bien aux changements de modèles ; elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles sont très efficaces pour la prévision. En particulier, nous étudierons l’estimation de la fonction de répartition, de la densité, de la régression et de la densité spectrale. Quelques applications sont données au cours du texte.
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Estimation de la fonction de répartition
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2. Loi empirique
Dans le cadre de l’échantillon, où X = (X 1,…,X n ) a pour composantes des variables indépendantes et de même loi μ, on définit la loi empirique en posant :
où la notation δ (a) désigne la « masse » (+ 1) au point a ; μ n est donc construite en affectant chaque variable observée X i de la « probabilité » 1/n. C’est une loi de probabilité aléatoire qui approxime la loi théorique μ.
Les paramètres empiriques associés à μ n sont des estimateurs naturels des paramètres théoriques associés à μ, sous réserve de l’existence simultanée de ces deux types de paramètres.
Par exemple, la moyenne empirique définie par :
est un estimateur de la moyenne théorique (ou espérance mathématique) :
si celle-ci est définie.
De même, la variance empirique :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERLINET (A.), DEVROYE (L) - A comparison of kernel density estimates - Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 38 (3), p. 3-59 (1994).
-
(2) - BLANKE (D.), PUMO (B.) - Optimal sampling for density estimation in continuous time - J. Time Ser. Anal., 24 (1), p. 1-24 (2003).
-
(3) - BOSQ (D.) - Test du χ2 généralisés. Comparation avec le test du χ2 classique - Revue Statist. Appliquée, 37 (1), p. 43-52 (1989).
-
(4) - BOSQ (D.) - Nonparametric statistic for stochastic processes. Estimation and prediction - Volume 110 of Lecture Notes in Statistics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York (1998).
-
(5) - BOSQ (D.) - Functional tests of fit. In Goodness-of-fit tests and model validity - Stat. Ind. Technol., Birkhäuser (éd. Huber-Carol), Boston MA, p. 341–356 (2002).
-
(6) - BOSQ (D.), BLANKE (D.) - Inference...
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