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RÉSUMÉ
Cet article expose les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Les modèles paramétriques présentent en général un paramètre d’intérêt de dimension infinie ; le plus souvent ce paramètre est une fonction que l’on cherche à estimer. Sont étudiées plus particulièrement les méthodes de la densité par projection, de la fonction de répartition, ainsi que celles de la densité spectrale. Ces méthodes présentent le grand intérêt de résister aux changements de modèles. Elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles possèdent l’avantage d’être très efficaces pour la prévision. Quelques applications permettent l’illustration concrète de cette présentation.
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-
Denis BOSQ : Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Dans cet article, nous exposons les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Ces méthodes ont l'avantage d'être robustes : elles résistent bien aux changements de modèles ; elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles sont très efficaces pour la prévision. En particulier, nous étudierons l’estimation de la fonction de répartition, de la densité, de la régression et de la densité spectrale. Quelques applications sont données au cours du texte.
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Estimation de la densité par projection
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4. Estimation de la densité de probabilité par la méthode du noyau
L’estimation de la fonction de densité joue un rôle central en estimation fonctionnelle ; le problème est difficile et les applications sont nombreuses.
La situation est la suivante : on observe des variables aléatoires réelles X 1,…, X n indépendantes et de même loi μ de densité f inconnue, on a donc :
La fonction f est positive ou nulle et vérifie
. On veut estimer f dans un cadre non paramétrique : la famille F des densités possibles est suffisamment vaste pour ne pas être associée à un paramétrage naturel.
Dans ce cadre, les méthodes d’estimation classiques ne sont plus utilisables. Nous avons vu que la « densité empirique » n’existe pas puisque la loi empirique μn est une loi discrète.
La méthode du maximum de vraisemblance échoue car, pour une famille F vaste, le maximum de la vraisemblance est en général infini.
Quant à la recherche d’un estimateur sans biais, elle ne donne aucun résultat car on peut montrer qu’un tel estimateur (supposé symétrique par rapport aux observations) serait la densité empirique ...
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Estimation de la densité de probabilité par la méthode du noyau
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERLINET (A.), DEVROYE (L) - A comparison of kernel density estimates - Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 38 (3), p. 3-59 (1994).
-
(2) - BLANKE (D.), PUMO (B.) - Optimal sampling for density estimation in continuous time - J. Time Ser. Anal., 24 (1), p. 1-24 (2003).
-
(3) - BOSQ (D.) - Test du χ2 généralisés. Comparation avec le test du χ2 classique - Revue Statist. Appliquée, 37 (1), p. 43-52 (1989).
-
(4) - BOSQ (D.) - Nonparametric statistic for stochastic processes. Estimation and prediction - Volume 110 of Lecture Notes in Statistics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York (1998).
-
(5) - BOSQ (D.) - Functional tests of fit. In Goodness-of-fit tests and model validity - Stat. Ind. Technol., Birkhäuser (éd. Huber-Carol), Boston MA, p. 341–356 (2002).
-
(6) - BOSQ (D.), BLANKE (D.) - Inference...
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