Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article expose les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Les modèles paramétriques présentent en général un paramètre d’intérêt de dimension infinie ; le plus souvent ce paramètre est une fonction que l’on cherche à estimer. Sont étudiées plus particulièrement les méthodes de la densité par projection, de la fonction de répartition, ainsi que celles de la densité spectrale. Ces méthodes présentent le grand intérêt de résister aux changements de modèles. Elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles possèdent l’avantage d’être très efficaces pour la prévision. Quelques applications permettent l’illustration concrète de cette présentation.
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This article presents the non-parametric functional estimation methods. These parametric model present, in general, a parameter of interest in the infinite dimension; most often this parameter is a function that one tries to estimate. It particularly focuses on the density by projection , distribution function and spectral density methods. These methods are of great interest being resistant to changes in models. They also allow for assisting statisticians in choosing a parametric model and are very efficient for forecasting. This presentation is illustrated by several applications.
Auteur(s)
-
Denis BOSQ : Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Dans cet article, nous exposons les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Ces méthodes ont l'avantage d'être robustes : elles résistent bien aux changements de modèles ; elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles sont très efficaces pour la prévision. En particulier, nous étudierons l’estimation de la fonction de répartition, de la densité, de la régression et de la densité spectrale. Quelques applications sont données au cours du texte.
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Estimation fonctionnelle dans les processus à temps discret
En anglais
6. Estimation de la régression
Étant donné deux variables aléatoires réelles X et Y admettant un moment d'ordre 2, la régression (non linéaire) de Y en X est la fonction r telle que :
où G est la famille des fonctions g telles que g(X) admette un moment d'ordre 2.
Donc r (X) est la meilleure approximation de Y par une fonction de X. On dit que c'est l'espérance conditionnelle de Y sachant X et on écrit :
On montre que r est unique (à une équivalence près) et, si (X, Y) a une densité f (x, y), on a :
( 7 )
où f (x) est la densité de X, donnée par
.
Il est important de remarquer que r est une mesure de l'influence de X sur Y beaucoup plus précise que la régression affine. Cette dernière peut se révéler inopérante même dans des cas simples : si, par exemple, X suit la loi normale réduite et Y = X 2, la régression affine de Y en X est la fonction constante y ≡ 1 alors que r (x) = x2. L'erreur d'approximation de la première est E(X 2 − 1)2 = 2 alors que celle de la deuxième est nulle.
Pour estimer r à partir d'un échantillon (Xi, Yi), 1 ≤ i ≤ n, on peut commencer par estimer f (x,y) et f (x) par la méthode du noyau en posant :
...
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Estimation de la régression
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERLINET (A.), DEVROYE (L) - A comparison of kernel density estimates - Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 38 (3), p. 3-59 (1994).
-
(2) - BLANKE (D.), PUMO (B.) - Optimal sampling for density estimation in continuous time - J. Time Ser. Anal., 24 (1), p. 1-24 (2003).
-
(3) - BOSQ (D.) - Test du χ2 généralisés. Comparation avec le test du χ2 classique - Revue Statist. Appliquée, 37 (1), p. 43-52 (1989).
-
(4) - BOSQ (D.) - Nonparametric statistic for stochastic processes. Estimation and prediction - Volume 110 of Lecture Notes in Statistics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York (1998).
-
(5) - BOSQ (D.) - Functional tests of fit. In Goodness-of-fit tests and model validity - Stat. Ind. Technol., Birkhäuser (éd. Huber-Carol), Boston MA, p. 341–356 (2002).
-
(6) - BOSQ (D.), BLANKE (D.) - Inference...
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