Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article expose les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Les modèles paramétriques présentent en général un paramètre d’intérêt de dimension infinie ; le plus souvent ce paramètre est une fonction que l’on cherche à estimer. Sont étudiées plus particulièrement les méthodes de la densité par projection, de la fonction de répartition, ainsi que celles de la densité spectrale. Ces méthodes présentent le grand intérêt de résister aux changements de modèles. Elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles possèdent l’avantage d’être très efficaces pour la prévision. Quelques applications permettent l’illustration concrète de cette présentation.
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This article presents the non-parametric functional estimation methods. These parametric model present, in general, a parameter of interest in the infinite dimension; most often this parameter is a function that one tries to estimate. It particularly focuses on the density by projection , distribution function and spectral density methods. These methods are of great interest being resistant to changes in models. They also allow for assisting statisticians in choosing a parametric model and are very efficient for forecasting. This presentation is illustrated by several applications.
Auteur(s)
-
Denis BOSQ : Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Dans cet article, nous exposons les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Ces méthodes ont l'avantage d'être robustes : elles résistent bien aux changements de modèles ; elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles sont très efficaces pour la prévision. En particulier, nous étudierons l’estimation de la fonction de répartition, de la densité, de la régression et de la densité spectrale. Quelques applications sont données au cours du texte.
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Estimation de la densité de probabilité par la méthode du noyau
En anglais
3. Estimation de la fonction de répartition
À la fonction de répartition théorique F (exemple 2), on associe la fonction de répartition empirique :
Pour l’expliciter nous utiliserons la notation :
pour tout B ⊂
. Alors ;
donc Fn(x) est la fréquence de l’événement Xi ∈ ]−∞, x]. On en déduit que nFn(x) suit la loi binomiale B(n, F (x)) :
Nota : Ici, et dans la suite, P désigne une loi de probabilité « générale » engendrée par μ sur tous les modèles associés à (X1,...,Xn), n≥ 1.
Par conséquent, Fn(x) est un estimateur sans biais de F (x) :
et sa variance s’écrit :
donc Fn(x) converge en moyenne quadratique vers F (x) ; autrement dit
...
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Estimation de la fonction de répartition
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERLINET (A.), DEVROYE (L) - A comparison of kernel density estimates - Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 38 (3), p. 3-59 (1994).
-
(2) - BLANKE (D.), PUMO (B.) - Optimal sampling for density estimation in continuous time - J. Time Ser. Anal., 24 (1), p. 1-24 (2003).
-
(3) - BOSQ (D.) - Test du χ2 généralisés. Comparation avec le test du χ2 classique - Revue Statist. Appliquée, 37 (1), p. 43-52 (1989).
-
(4) - BOSQ (D.) - Nonparametric statistic for stochastic processes. Estimation and prediction - Volume 110 of Lecture Notes in Statistics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York (1998).
-
(5) - BOSQ (D.) - Functional tests of fit. In Goodness-of-fit tests and model validity - Stat. Ind. Technol., Birkhäuser (éd. Huber-Carol), Boston MA, p. 341–356 (2002).
-
(6) - BOSQ (D.), BLANKE (D.) - Inference...
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