Cet article expose les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Les modèles paramétriques présentent en général un paramètre d’intérêt de dimension infinie ; le plus souvent ce paramètre est une fonction que l’on cherche à estimer. Sont étudiées plus particulièrement les méthodes de la densité par projection, de la fonction de répartition, ainsi que celles de la densité spectrale. Ces méthodes présentent le grand intérêt de résister aux changements de modèles. Elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles possèdent l’avantage d’être très efficaces pour la prévision. Quelques applications permettent l’illustration concrète de cette présentation.
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Denis BOSQ
: Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Dans cet article, nous exposons les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Ces méthodes ont l'avantage d'être robustes : elles résistent bien aux changements de modèles ; elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles sont très efficaces pour la prévision. En particulier, nous étudierons l’estimation de la fonction de répartition, de la densité, de la régression et de la densité spectrale. Quelques applications sont données au cours du texte.
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Nous donnons maintenant quelques indications sur une méthode globale d'estimation de f. Le principe est de développer f en série de fonctions orthogonales et d'estimer les coefficients de ce développement à l'aide de moyennes empiriques. Nous commençons par un cas particulier important.
Séries trigonométriques
Sur l'intervalle [0,1], le système orthonormal des fonctions trigonométriques est défini par e0(x) = 1 et
,
, j ≥ 1, x ∊ [0,1].
Soit f une densité bornée définie sur [0,1] ; on pose :
où :
On montre alors que la série converge au sens quadratique, c'est-à-dire que :
...
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(1) -
BERLINET (A.), DEVROYE (L) -
A comparison of kernel density estimates
-
Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 38 (3), p. 3-59 (1994).
(2) -
BLANKE (D.), PUMO (B.) -
Optimal sampling for density estimation in continuous time
-
J. Time Ser. Anal., 24 (1), p. 1-24 (2003).
(3) -
BOSQ (D.) -
Test du χ2 généralisés. Comparation avec le test du χ2 classique
-
Revue Statist. Appliquée, 37 (1), p. 43-52 (1989).
(4) -
BOSQ (D.) -
Nonparametric statistic for stochastic processes. Estimation and prediction
-
Volume 110 of Lecture Notes in Statistics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York (1998).
(5) -
BOSQ (D.) -
Functional tests of fit. In Goodness-of-fit tests and model validity
-
Stat. Ind. Technol., Birkhäuser (éd. Huber-Carol), Boston MA, p. 341–356 (2002).
Bibliographie & annexes
English
Estimation de la régression,
, j ≥ 1, x ∊ [0,1].
