Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
La méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) consiste à évaluer la fiabilité des résultats fournis par l'ordinateur. En effet, celui-ci réalise des calculs utilisant une représentation finie (nombres à virgules flottantes) des nombres réels, alors que ces nombres sont non finis. D'où résultats avec incertitudes, erreurs d'arrondis et risque d'invalidation. Cette méthode permet grâce à un procédé statistique dynamique, de déterminer le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique. Cet article décrit le principe de la méthode ainsi que des exemples d'utilisation du logiciel CADNA (logiciel permettant cette validation numérique).
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The CESTAC method (Control and stochastic estimate of rounded calculation) consists in assessing the reliability of the results provided by the computer. Indeed, the computer makes calculations wich use a finite representation (floating point numbers) of real numbers even though these numbers are non-finite. This generates results with uncertainties, rounding errors and invalidation risks. Through the use of a dynamic statistical process, this method allows to determine the number of exact significant decimal digits in the results provided by scientific calculation programmes. This article describes the principles of the method and provides examples concerning the use of the CADNA software (wich allows for this numerical validation).
Auteur(s)
-
Jean VIGNES : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
-
René ALT : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Les chapitres suivants sont consacrés à l'approche stochastique de la propagation des erreurs d'arrondi et de l'influence des incertitudes des données sur les résultats fournis par un programme scientifique.
C'est la seule méthode permettant à chaque ingénieur de répondre à la question posée précédemment qui en substance est : « Quel est le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique ? »
Ainsi, la méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) est détaillée au chapitre 2, puis l'arithmétique stochastique est présentée au chapitre 3.
Le chapitre 4 est consacré à la description et à l'utilisation du logiciel CADNA (« Control of Accuracy and Debugging of Numerical Algorithms »). Ce logiciel met en œuvre la méthode CESTAC et l'arithmétique stochastique discrète.
Les chapitres 5 et 6 sont dédiés à l'apport du logiciel CADNA aux diverses méthodes de calcul numérique (directes, itératives et approchées) et à des exemples d'utilisation de ce logiciel. La conclusion constitue le chapitre 7.
Toute l'introduction de ces questions est faite dans le dossier [AF 1 470], la documentation est regroupée dans Validation des résultats des logiciels scientifiques[Doc. AF 1 470].
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Exemples d'utilisation du logiciel CADNA
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5. Apport du logiciel CADNA aux diverses méthodes de calcul scientifique
Les méthodes numériques, mises en œuvre dans les programmes de calcul scientifique, sont classées en trois catégories :
-
finies ;
-
itératives ;
-
approchées.
Pour chacune d'entre elles nous allons mettre en évidence les difficultés de leur utilisation et montrer comment ces difficultés peuvent être résolues en utilisant le contrôle de la précision et les concepts de l'arithmétique stochastique discrète, c'est-à-dire en utilisant le logiciel CADNA.
5.1 Méthodes numériques finies
Ces méthodes sont constituées de suites finies et ordonnées d'opérations dépendant de débranchements conditionnels. Lorsqu'elles sont exécutées sur ordinateur, à cause de la propagation des erreurs d'arrondi, deux problèmes se posent à la fois :
-
la fiabilité des résultats (nombre de chiffres décimaux significatifs exacts) ;
-
la fiabilité des débranchements.
Nous illustrons ceci en présentant sur des exemples les résultats obtenus, d'une part, avec l'arithmétique en virgule flottante usuelle, utilisant la norme IEEE 754 et, d'autre part, avec le logiciel CADNA.
Exemple Le premier exemple est le calcul du déterminant de la matrice de Hilbert d'ordre n définie par :
La valeur exacte du déterminant Δ* est donnée par :
( 28 )
Le programme de calcul est présenté dans le chapitre 6.
Afin de montrer l'apport de CADNA dans l'estimation de l'effet des incertitudes de données nous présentons dans le tableau les résultats en considérant d'abord que les valeurs aij ne sont qu'entachées des erreurs d'arrondi puis qu'elles sont entachées d'incertitudes d'écart-type e.
-
Résultats obtenus dans le cas où les valeurs aij ne sont qu'entachées...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZINSKI (C.) - Méthodes numériques de base – Analyse numérique. - [AF 1 220] (2006).
-
(2) - LA PORTE (M.), VIGNES (J.) - Algorithmes numériques, analyse et mise en œuvre. - Éds Technip, Paris, vol.1 et 2 (1974 et 1980).
-
(3) - PICHAT (M.), VIGNES (J.) - Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur. - Éd. Technip, Paris (1993).
-
(4) - MULLER (J.M.) - L'arithmétique des ordinateurs, - Masson, 1989.
-
(5) - GAO/Imtec-92-26 - Patriot missile Defense. - Software problems led to failure at Dahran Arabia (1992).
-
(6) - RUMP (S.M.) - How reliable are results of computers ? - Jahrbuch Uberliche Mathematik (1983).
-
...
NORMES
-
Floating-point arithmetic - IEEE 754 - 01-08
1.1 Sites web où les logiciels cités sont disponibles
Liste non exhaustive.
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